B. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ VÍ DỤ MỞ RỘNG
§1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC
• Nếu hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm x = $x_{0}$ thì f(x) liên tục tại điểm đó.
Thật vậy, giả sử hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm x = $x_{0}$. Khi đó, ta có
.png)
Vậy f(x) liên tục tại x = $x_{0}$
• Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, có thể xét hàm số f(x) = |x|, dễ dàng chứng tỏ hàm này liên tục nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0. Một ví dụ khác :
Ví dụ 21.
Chứng minh rằng hàm số .png)
liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0.
Giải.
.png)
Do đó f không có đạo hàm tại x = 0.
Ví dụ 22.
Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại $x_{0}$ = 0;
.png)
Giải.
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm $x_{0}$ = 0 thì f(x) liên tục tại điểm đó. Như vậy, để hàm số đã cho có đạo hàm tại $x_{0}$ = 0 thì trước hết hàm số phải liên tục tại $x_{0}$ = 0, tức là
.png)
Lúc đó, thay a = 1 vào ta có
.png)
Ta có
.png)
Hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$ = 0 khi và chỉ khi
.png)
Vậy khi a = 1, .png)
thì hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$ = 0.