Hàm số liên tục

§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

3.1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho (a; b) là khoảng chứa điểm $x_{0}$. Cho hàm f xác định trên (a ; b). Ta nói f là hàm liên tục tại x = $x_{0}$, nếu Nếu f không liên tục tại $x_{0}$, ta nói nó gián đoạn tại $x_{0}$.

Ví dụ 20.

Hàm số liên tục tại x = 2, nhưng không liên tục tại x = 0, vì

3.2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Cho hàm f xác định trên (a; b). Ta nói f là hàm liên tục trên khoảng (a ; b) nếu f liên tục tại mọi điểm $x_{0}$ $\in$ (a ; b).

Ta nói hàm số y = f(x) liên tục trên đọan [a, b] nếu nó liên tục trên khoảng (a, b) và ta có

Chú ý. Khi ta nói hàm số f liên tục bên phải tại điểm a. Khi ta nói hàm số f liên tục bên trái tại điểm b.

Định lí.

(1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm liên tục tại một điểm là những hàm liên tục tại điểm đó (đối với thương, trừ tại những điểm mà thương không xác định).

(2) Các hàm số đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên các khoảng mà nó xác định.

Ví dụ 21.

Xét lại ví dụ 20, hàm đã cho liên tục trên (-$\infty$; 2) $\cup$ (2; +$\infty$).

Ví dụ 22.

Tìm các khoảng liên tục của hàm số :

Giải.

Theo (2) trong định lí trên, rõ ràng hàm số liên tục trên các khoảng (-$\infty$, -1), (-1, 1), (1, +$\infty$). Ta cần xét sự liên tục của hàm số bên trái của -1 và bên phải của 1. Ta có

Suy ra hàm số không liên tục bên trái của -1.

Tương tự :

Suy ra hàm số liên tục bên phải của 1.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (-$\infty$, -1), [-1, +$\infty$).

Ví dụ 23.

Xác định a để hàm số liên tục tại $x_{0}$ = 2.

Giải.

Ta có Mặt khác, ta có:

(Xem bài tập 4.10, câu a)).

Vậy để hàm số liên tục tại $x_{0}$ = 2 thì điều kiện cần và đủ là

Ví dụ 24.

Xét tính liên tục của hàm số sau trên R:

Giải.

Hàm số đã cho liên tục tại mọi x thuộc R, trừ tại x = 0. Thật vậy, theo định lí trên ((1) và (2)), hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó (hàm số này liên tục tại mọi điểm trừ tại 0, vì nó không xác định tại x = 0).

Theo giả thiết, ta có : f(0) = 1. Mặt khác:

(Xem bài tập 4.10, câu a)). Vậy hàm số không liên tục tại x = 0.

3.3. Tính chất của hàm số liên tục

Định lí giá trị trung gian

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b].

Nếu f(a) $\neq$ f(b) thì với mọi số thực $\mu$ nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại $x_{0}$ $\in$ [a, b] sao cho f($x_{0}$) = $\mu$.

Hệ quả

(1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại $x_{0}$ $\in$ (a, b) sao cho f($x_{0}$) = 0.

(2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm x $\in$ (a; b).

(3) Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc khoảng (a; b).

(4) Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đơn điệu trên đoạn [a, b], ngoài ra f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (a, b).

(5) Tồn tại $x_{1}$ $\in$ [a, b] sao cho f($x_{1}$) $\leq$ f(x), $\forall$ x $\in$ [a, b].

(6) Tồn tại $x_{2}$ $\in$ [a, b] sao cho f($x_{2}$) $\geq$ f(x), $\forall$ x $\in$ [a, b].

Ví dụ 25.

Chứng minh rằng phương trình $x^{3}$ + 4x + 4 = 0 luôn có nghiệm nằm trong khoảng (-1, 1).

Giải.

Đặt f(x) = $x^{3}$ + 4x + 4. Rõ ràng f(x) liên tục trên R. Ngoài ra, ta có, f(1) = 9, f(-1) = -1 nên theo định lí giá trị trung gian, ta suy ra điều phải chứng minh (phương trình $x^{3}$ + 4x + 4=0 có nghiệm trên khoảng (-1, 1)).

Ví dụ 26.

Cho f(x) là hàm liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện

f(f(x)) f(x) = 1, $\forall x$ và f(1000) = 999.

Hãy tính f(500).

Giải.

Ta có f(f(1000)) f(1000) = 1 và f(1000) = 999 nên

Vì hàm số liên tục và do nên theo định lí giá trị trung gian, tồn tại $x_{0}$ $\in$ (999;1000) sao cho f($x_{0}$) = 500.

Khi đó, từ giả thiết f(f(x))f(x) = 1, $\forall$x, ta có

BÀI TẬP

4.14. Chứng minh rằng phương trình $x^{3}$ + x - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương bé hơn 1.

4.15. Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:

4.16. Xác định các giá trị a, b để hàm số sau liên tục trên toàn trục số :

4.17. Giả sử f(x), g(x) là hai hàm liên tục trên (a; b).

Đặt h(x) = min (f(x), g(x)) ; k(x) = max (f(x), g(x)).

(Có nghĩa là, với mọi x $\in$ (a; b), h(x) là giá trị nhỏ nhất trong hai giá trị f(x) và g(x); k(x) là giá trị lớn nhất trong hai giá trị f(x) và g(x)).

Chứng minh rằng h(x) và g(x) cũng là hai hàm liên tục trên khoảng (a; b).

4.18. Cho a < b < c < d và p, q tùy ý. Giả sử thêm rằng p, q là các số khác 0. Chứng minh rằng phương trình

p(x - a)(x - c) + q(x - b)(x - d) = 0 luôn luôn có nghiệm.

HƯỚNG DẪN GIẢI

4.14. Đặt g(x) = $x^{3}$ + x – 1. Ta có hàm g(x) liên tục trên R, ngoài ra, g(0).g(1) < 0. Suy ra điều phải chứng minh (theo hệ quả của định lí giá trị trung gian).

4.15. Hàm số liên tục tại mọi điểm x $\neq$ $\pi$. Do đó, f(x) liên tục tại mọi điểm x $\neq$ $\pi$. Xét tại x = $\pi$. Ta có f($\pi$) = $\large \frac{1}{2}$. Nhưng:

Vậy f(x) không liên tục tại điểm x = $\pi$.

4.16. Rõ ràng hàm số f(x) liên tục trên các khoảng

Ta xét tại các điểm Ta có

Để hàm số liên tục tại ta phải có

-a + b = 2. (1)

Mặt khác :

Để hàm số liên tục tại ta phải có

a + b = 0. (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = -1, b = 1.

Tóm lại, để hàm số đã cho liên tục trên toàn trục số, ta phải có a = -1, b = 1.

4.17. Trước tiên, ta chứng minh rằng với mọi x $\in$ (a; b), ta có :

Ta chứng minh hệ thức (2), (1) được tiến hành tương tự.

Lấy $x_{0}$ tuỳ ý $\in$ (a; b). Không giảm tổng quát có thể cho là f($x_{0}$) $\geq$ g($x_{0}$) (nếu f($x_{0}$) < g($x_{0}$) thì cách chứng minh hoàn toàn tương tự). Khi đó ta có

k($x_{0}$) = max (f($x_{0}$), g($x_{0}$)) = f($x_{0}$). (3)

Mặt khác do f($x_{0}$) $\geq$ g($x_{0}$), nên

Từ (3) và (4) suy ra (2) đúng.

Theo định lí về tổng các hàm liên tục, suy ra h(x) và k(x) là các hàm liên tục trên (a, b).

4.18. Đặt f(x) = p(x - a)(x - c) + q(x - b)(x - d). Dễ thấy f(x) liên tục trên toàn trục số.

• Trường hợp 1: p và q cùng dấu. Ta có:

f(a) = q(a - b)(a - d), f(b) = p(b - a)(b - c).

Theo giả thiết:

(a - b) < 0 và (a – d) < 0 nên f(a) cùng dấu với q;

(b – a) > 0 và (b - c) < 0 nên f(b) trái dấu với p.

Như vậy trong trường hợp này, f(a).f(b) < 0. Do đó, theo hệ quả của định lí giá trị trung gian, phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng (a; b).

• Trường hợp 2: p và q trái dấu. Ta có

f(a) = q(a - b)(a - d), f(d) = p(d - a)(d - c).

Theo giả thiết :

(a - b) < 0 và (a – d) < 0 nên f(c) cùng dấu với q;

(d - a) > 0 và (d - c) > 0 nên f(b) cùng dấu với p.

Như vậy trong trường hợp này, ta cũng có f(a).f(b) < 0. Do đó, theo hệ quả của định lí giá trị trung gian, phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng (a ; d).

Tóm lại, trong cả hai trường hợp của p và q, phương trình p(x - a)(x - c) + q(x - b)(x - d) = 0 luôn luôn có nghiệm.