§2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2.1. Một số công thức lượng giác đã học
2.1.1. Công thức cộng đối với sin và cosin:
cos($\alpha$ - $\beta$) = cos$\alpha$cos$\beta$ + sin$\alpha$sin$\beta$;
cos($\alpha$ + $\beta$) = cos$\alpha$cos$\beta$ - sin$\alpha$sin$\beta$;
sin($\alpha$ - $\beta$) = sin$\alpha$cos$\beta$ - sin$\beta$cos$\alpha$;
sin($\alpha$ + $\beta$) = sin$\alpha$cos$\beta$ + sin$\beta$cos$\alpha$.
2.1.2. Công thức cộng đối với tang :
.png)
với mọi $\alpha$, $\beta$ làm cho biểu thức có nghĩa.
2.1.3. Công thức nhân đôi:
sin2$\alpha$ = 2sin$\alpha$cos$\alpha$;
cos2$\alpha$ = $cos^{2}\alpha$ - $sin^{2}\alpha$ = 2$cos^{2}\alpha$ – 1 = 1 - 2$sin^{2}\alpha$;
.png)
2.1.4. Công thức hạ bậc:
.png)
2.1.5. Công thức tính sin$\alpha$; cos$\alpha$; tan$\alpha$ theo t = tan$\large \frac{\alpha }{2}$:
.png)
Ví dụ 7.
a) Chứng minh các công thức sau:
.png)
b) Chứng tỏ .png)
c) Chứng minh đẳng thức: .png)
Giải.
a) Từ các công thức góc nhân đôi và công thức cộng, ta có:
.png)
Công thức còn lại được chứng minh tương tự.
b) Từ sin 3x = -4$sin^{3}$x + 3sinx suy ra
.png)
Tương tự, .png)
Do đó :
.png)
c) Vì 3.18° + 2.18° = 54° + 36° = 90° nên ta suy ra
sin(3.18°) = cos (2.18°).
Từ đó : 3 sin18° – 4$sin^{3}$18° = 1 - 2$sin^{2}$18°
Đặt x = sin 18° thì 0 < x < 1 và 4$x^{3}$ - 2$x^{2}$ – 3x + 1 = 0.
Phương trình này tương đương với (x – 1)(4$x^{2}$ + 2x - 1) = 0
.png)
So với điều kiện chỉ có .png)
là thích hợp. Từ đó:
.png)
là điều phải chứng minh.
Ví dụ 8.
.png)
Giải
.png)
Ví dụ 9. Cho x = cos36° – cos72°. Tính x.
Giải.
Cách 1. Sử dụng công thức biến đổi, ta có:
xcos18° = cos36°cos18° - cos72°cos18°
= $\large \frac{1}{2}$(cos54° + cos18° - cos90° - cos54°)
xcos18° = $\large \frac{1}{2}$.cos18° ⇒ x = $\large \frac{1}{2}$
Cách 2. Đặt u = cos36° và v = cos72°. Sử dụng công thức nhân đôi: cos2$\alpha$ = 2$cos^{2}\alpha$ - 1 = 1- 2$sin^{2}\alpha$.
Với $\alpha$ = 36°, ta được : v = 2$u^{2}$ - 1
Với $\alpha$ = 18°, ta được: u = 1 - 2$sin^{2}$18° = 1 – 2$v^{2}$ (vì cos72° = sin18°).
Cộng hai phương trình, ta được :
u + v = 2($u^{2}$ – $v^{2}$) = 2(u + v)(u - v).
⇔ 1 = 2 (u - v) (vì u + v $\neq$0).
Vậy x = u - v = $\large \frac{1}{2}$;
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.
a) Chứng minh rằng tanA + tanB + tanC = tanA. tanB.tanC.
b) Đặt T = tanA + tanB + tanC. Chứng minh rằng T $\geq$ 3$\sqrt{3}$
Giải.
a) Trong tam giác ABC, ta có A + B + C = $\pi$ nên
A + B = $\pi$ - C, và tan(A + B) = tan($\pi$ - C), hay
.png)
Suy ra tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C.
b) Vì A, B, C là 3 góc nhọn nên tanA, tanB, tanC đều là các số dương. Theo bất đẳng thức TBC-TBN cho ba số dương, ta có:
T = tanA + tanB + tanC $\geq$ 3$\sqrt[3]{tanAtanBtanC}$
Lập phương 2 vế và kết hợp kết quả câu a), ta được
.png)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tanA = tanB = tanC, tức là khi $\Delta$ABC đều.
2.2. Một số công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
2.2.1. Công thức biến đổi tích thành tổng:
.png)
2.2.2. Công thức biến đổi tổng thành tích:
.png)
Ví dụ 11.
Chứng minh công thức : .png)
Giải.
.png)
Chú ý. 1) Công thức trên rất thường được sử dụng, các bạn nên học thuộc lòng.
2) Muốn chứng minh một đẳng thức lượng giác, ta thường theo các bước sau:
- Sử dụng các công thức lượng giác, các định lí hàm số cosin, sin, các công thức diện tích.
- Sử dụng các hằng đẳng thức quan trọng của đại số.
- Rút gọn biểu thức.
Ví dụ 12.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC (với a, b, c là độ dài ba cạnh tương ứng với các góc đối A, B, C) ta luôn có
.png)
Giải.
Từ định lí hàm số sin, hệ thức cơ bản và công thức biến đổi tổng thành tích ta có
.png)
Ví dụ 13. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác.
.png)
b) Giả sử cosC(sinA + sinB) = sinC.cos(A - B).
Hãy tính cosA + cosB
Giải.
a) Trong mọi tam giác ABC ta đều có
.png)
b) Giả thiết cosC(sinA + sinB) = sinC.cos(A - B) tương đương với:
.png)
Vì .png)
nên đẳng thức trên tương đương với
.png)
Ví dụ 14. (Thi vào ĐHSP Hà Nội, khối A, 2000)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
.png)
Giải.
Có 2 trường hợp:
+ Nếu $\Delta$ABC vuông hay tù thì vế trái là cosA.cosB.cosC $\leq$ 0 trong khi vế phải là .png)
Vậy bất đẳng thức đúng.
+ Nếu $\Delta$ABC nhọn thì
.png)
Đẳng thức xảy ra khi A = B. Tương tự:
.png)
Đẳng thức xảy ra khi B = C.
.png)
Đẳng thức xảy ra khi C = A.
Nhân 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:
.png)
Do .png)
nên ta suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi A = B = C, tức là khi tam giác ABC đều.
2.2.3. Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx thành dạng Csin(x + $\alpha$) :
a sin x + b cos x = Csin(x + $\alpha$), trong đó
.png)
và $\alpha$ là số thỏa mãn
.png)
Ví dụ 15. Biến đổi các biểu thức sau về dạng Csin(x + $\alpha$):
a) 3 sin x + $\sqrt{3}$ cos x; b) 2 sin 3x + $\sqrt{5}$ cos3x.
Giải.
a) Ta có
.png)
b) Ta có
.png)
trong đó a là góc thỏa mãn sina = $\large \frac{2}{3}$, cosa = $\large \frac{\sqrt{5}}{3}$
Ví dụ 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a) y = sin x + cos x ;
b) y = $\sqrt{sinx}$ + $\sqrt{cosx}$ .
Giải.
a) .png)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
.png)
Vậy miny = -$\sqrt{2}$.
b) Ta cần điều kiện sinx $\geq$ 0 và cosx $\geq$ 0.
Vì 0 $\leq$ sinx ; cosx $\leq$ 1 nên ta có
.png)
từ đó .png)
Dấu "=" xảy ra khi
.png)
Vậy miny = 1.
Ví dụ 17. Cho tam giác ABC bất kì, tìm GTLN của:
a) P = sin A + sin B + sin C;
b) Q = $\sqrt{3}$ cos B + 3(cos A + cos C).
Giải.
a) Với x,y $\in$ (0, $\pi$) ta có:
.png)
.png)
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều. Vậy .png)
b) Ta có
.png)
BÀI TẬP
1.4. Tam giác ABC có đặc điểm gì, nếu các góc của nó thoả mãn hệ thức : .png)
1.5. Tính cos75° cos15°, sin 75° sin 15°.
1.6. Tìm giá trị lớn nhất của: y = $sin^{13}$x + $cos^{20}$x.
1.7. Tìm GTNN của hàm số:
.png)
1.8.
Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn điều kiện:
cosC(sinA + sinB) = sinC.cos(A - B).
Hãy tính cosA + cosB.
HƯỚNG DẪN GIẢI
1.4.
Ta có: .png)
⇔ sinC = 2sinBcosA. Ta lại có :
sin(B + A) + sin(B - A)
= sinBcos A + sinAcosB + sinBcos A - sinAcosB = 2sinBcos A.
Ngoài ra, B + A và C bù nhau nên đẳng thức trên tương đương với
sin C = sin(B + A) + sin(B - A) = sinC + sin(B - A)
⇔ sin(B - A) = 0 ⇔ A = B.
Vậy tam giác ABC cân tại C.
1.5. Ta có :
.png)
.png)
1.6.
.png)
Dấu "=" xảy ra khi:
.png)
Vậy maxy = 1.
1.7.
.png)
Dấu "=" xảy ra khi .png)
1.8. Giả thiết cosC(sinA + sinB) = sinC.cos(A - B) tương đương với:
.png)
Vì .png)
nên đẳng thức trên tương đương với :
.png)