Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN

§1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

1.1. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bằng n cách, phương án B có thể thực hiện bằng m cách. Khi đó, công việc đó có thể được thực hiện bằng m + n cách.

Ví dụ 1.

Bạn muốn mua một cây bút (bút mực hoặc bút chì). Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như thế, bạn có bao nhiêu cách lựa chọn?

Giải.

Có 8 cách chọn mua một cây bút mực. Có 8 cách chọn mua một cây bút chì. Vậy theo quy tắc cộng, có 8 + 8 = 16 cách chọn mua một cây bút (mực hoặc chì).

1.2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bằng n cách, công đoạn B có thể thực hiện bằng m cách. Khi đó, công việc đó có thể được thực hiện bằng m.n cách.

Ví dụ 2.

Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được thành lập từ 6 chữ số đó ?

Giải.

Để lập chữ số thứ nhất, có 6 cách. Để lập chữ số thứ hai, có 6 cách. Để lập chữ số thứ ba, có 6 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số các số gồm 3 chữ số lập từ 6 chữ số là 6.6.6 = 216.

Ví dụ 3.

Tìm số tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10.

Giải.

Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số 0 sao cho số phải tìm chia hết cho 10. Sau khi chọn chữ số 0 ở hàng đơn vị còn lại 9 chữ số vậy có 9 cách chọn chữ số hàng chục. Tương tự, sau khi chọn hàng chục có 8 cách chọn chữ số hàng trăm, 7 cách chọn chữ số hàng nghìn, và 6 cách chọn chữ số hàng vạn. Theo quy tắc nhân, có

9.8.7.6 = 3168 cách chọn.

Vậy có 3168 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10.

Ví dụ 4.

Cho hai tập hợp A = {$a_{1}$, $a_{2}$, ... $a_{n}$}, B = {$b_{1}$, $b_{2}$, ..., $b_{n}$}.

Tập hợp A . B = {($a_{i}$, $b_{i}$) / $a_{i}$ $\in$ A ; $b_{i}$ $\in$ B} được gọi là tích Descartes của 2 tập A và B.

Hỏi tập tích A . B có bao nhiêu phần tử ?

Giải.

Mỗi phân tử của A . B có dạng (a, b), với a $\in$ A và b $\in$ B. Để có a, ta có n cách chọn từ n phần tử của A. Tương tự, để có b, ta có m cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, có m . n cách chọn (a, b).

Do đó, tập tích A . B có n . m phần tử.

Nhận xét. Tổng quát, cho k tập hợp : $A_{1}$ có $n_{1}$ phần tử ; $A_{2}$ có $n_{2}$ phần tử ; ...; $A_{k}$ có $n_{k}$ phần tử. Tích Descartes của k tập hợp này là

Ví dụ 5.

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5. Từ các chữ số này, ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một ?

Giải

Gọi số phải tìm là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$. Có 2 trường hợp:

+ Nếu $a_{4}$ = 0 thì có 5 cách chọn $a_{1}$ $\in$ {1,2,3,4,5}, có 4 cách chọn $a_{2}$ $\in$ {0,1,2,3,4,5} \ {$a_{1}$, $a_{6}$}, có 3 cách chọn:

$a_{3}$ $\in$ {0,1,2,3,4,5} \ {$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{6}$}.

Vậy trường hợp này có 5.4.3 = 60 cách.

+ Nếu $a_{4}$ $\neq$ 0: có 2 cách chọn $a_{4}$, có 4 cách chọn $a_{1}$, có 4 cách chọn $a_{2}$, có 3 cách chọn $a_{3}$. Vậy trường hợp này có 2.4.4.3 = 96 cách.

Theo quy tắc cộng ta có 156 cách. Vậy có 156 số phải tìm

BÀI TẬP

2.1. Cho 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có bao nhiêu số khác nhau gồm 3 chữ số được thành lập từ 6 chữ số đó?

2.2. Hãy tìm số tất cả các số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đó đều là hai số chẵn.

2.3. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau (số hàng nghìn khác 0)?

2.4. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5. Từ các chữ số đã cho ta lập được bao nhiêu số chia hết cho 5, biết rằng số này có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một ?

2.5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5?

HƯỚNG DẪN GIẢI

2.1. Để lập chữ số thứ nhất, có 6 cách. Để lập chữ số thứ hai, có 5 cách. Để lập chữ số thứ ba, có 4 cách. Vậy số các số gồm 3 chữ số lập từ 6 chữ số là 6.5.4 = 120.

2.2. Chữ số thứ nhất được chọn trong 4 số 2, 4, 6, 8. Chữ số thứ hai được chọn trong 5 số 0, 2, 4, 6, 8. Vậy số các số tự nhiên hai chữ số mà hai chữ số đó đều là hai số chẵn là 20.

2.3. Có 5 cách chọn chữ số lẻ 1, 3, 5, 7, 9 để chọn hàng đơn vị. Sau khi chọn hàng đơn vị có 8 cách chọn chữ số khác 0 và khác hàng đơn vị để chọn hàng nghìn, sau đó có 8 cách chọn hàng trăm, có 7 cách chọn hàng chục.

Vậy có 5.8.8.7 = 2240 số phải tìm.

2.4. Gọi số phải tìm là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$. Có hai trường hợp:

+ Nếu $a_{3}$ = 0 ta có 5 cách chọn $a_{1}$, có 4 cách chọn $a_{2}$.

Vậy trong trường hợp này có 5.4 = 20 cách chọn.

+ Nếu $a_{3}$ = 5 ta có 4 cách chọn $a_{1}$, có 4 cách chọn $a_{2}$

Vậy trong trường hợp này có 4.4 = 16 cách chọn.

Theo quy tắc cộng ta có 20 + 16 = 36 cách. Vậy có 36 số.

2.5. Số phải tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Có 5 cách chọn $a_{1}$ $\in$ {1,2,3,4,5}.

Có 5 cách chọn $a_{2}$ $\in$ {0,1,2,3,4,5} \ {$a_{1}$}.

Có 4 cách chọn $a_{3}$ $\in$ {0,1,2,3,4,5} \ {$a_{1}$, $a_{2}$}

Có 3 cách chọn $a_{4}$ $\in$ {0,1,2,3,4,5} \ {$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$}.

Tương tự có 2 cách chọn $a_{5}$.

Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số.