§5. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n - 1 của nó :
.png)
• Để tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta thường thực hiện theo các bước sau:
Tính đạo hàm cấp 1, cấp 2...
Dự đoán công thức đạo hàm cấp k.
Chứng minh công thức đạo hàm cấp k + 1 theo quy nạp.
• Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: Đạo hàm cấp hai của hàm số biểu thị chuyển động là gia tốc tức thời của chuyển động.
Ví dụ 18.
Cho hàm số y = xsinx. Chứng minh rằng ta có:
xy” – 2(y' - sinx) + xy = 0.
Giải.
Ta có : y' = sinx + xcosx và y” = 2cosx - xsinx. Suy ra
xy” – 2(y'- sin x) + xy =
= 2xcosx - $x^{2}$sinx - 2(xcosx) + $x^{2}$sin x = 0.
Ví dụ 19. (Trích đề thi vào ĐHXD Hà Nội, 2002)
Cho hàm số f(x) xác định bởi
.png)
Chứng minh rằng đạo hàm cấp n của f(x) bằng
.png)
Giải.
Công thức đạo hàm của f(x) ở đề bài đúng khi n = 1.
Thật vậy, với n = 1 ta có:
.png)
Giả sử công thức đúng với n, tức là
.png)
Lúc đó, lấy đạo hàm của .png)
ta được:
.png)
Vậy công thức đúng với n + 1, ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 20.
a) Tính đạo hàm cấp n của hàm số .png)
b) Tính đạo hàm cấp n của hàm số .png)
Giải.
.png)
BÀI TẬP
5.13. Cho f(x) = $(x+10)^{6}$. Tính f”(2).
b) Cho f(x) = $cos^{2}$x. Tính $f^{(4)}$ (x).
c) Cho .png)
tính đạo hàm cấp hai.
d) Tính đạo hàm cấp 100 của f(x) = sinx
5.14. Tính đạo hàm cấp n (n $\in$ N) của mỗi hàm số sau:
.png)
HƯỚNG DẪN GIẢI
5.13. a) 622080 ;
b) 8cos2x;
.png)
d) cosx.
5.14.
.png)
Áp dụng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được rằng:
.png)
.png)