Sử dụng bất đẳng thức để giải một phương trình lượng giác

§3. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trong các ví dụ trước, ta đã gặp trường hợp chỉ cần nhận xét hai vế mà không giải trực tiếp phương trình lượng giác. Các ví dụ sau đây cho thấy việc sử dụng bất đẳng thức sẽ đem lại cách giải gián tiếp một cách hiệu quả cho một số phương trình lượng giác. Đặc biệt, -1 $\leq$ sinx, cosx $\leq$ 1 là các bất đẳng thức hay dùng (và các bất đẳng thức suy từ nó, chẳng hạn, $sin^{m}$ x $\leq$ $sin^{2}$x, m $\geq$ 2).

Ví dụ 38.

Giải phương trình:

Giải.

Về trái của phương trình (1) thoả mãn :

Phương trình đã cho được thỏa mãn khi đẳng thức xảy ra, do đó phương trình tương đương với hệ:

Phương trình (2) của hệ cho ta

Tuy nhiên, phương trình thứ nhất tương đương với

và khi thay vào, phương trình này không thỏa mãn. Vậy hệ trên vô nghiệm, nghĩa là phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 39.

Giải phương trình

Giải.

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 40.

Cho phương trình:

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Xác định m để phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc đoạn

Giải.

a) Khi m = 2 thì phương trình tương đương với :

b) Phương trình đã cho tương đương với :

Đặt Hàm số f(x) là hàm số chẵn nên nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm thì nó cũng có nghiệm

Từ đó suy ra rằng để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x_{0}$ trong đoạn thì ta phải có $x_{0}$ = 0. Thế $x_{0}$ = 0 vào phương trình, ta được m = 3. Đảo lại, khi m = 3 thì phương trình trở thành