Công thức nhị thức Niu-tơn

§3. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN

3.1. Công thức nhị thức Niu-tơn

3.2. Các tính chất

1) Số các số hạng của công thức bằng n + 1.

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức : (n – k) + k = n.

3) Số hạng tổng quát có dạng (đó là số hạng thứ k + 1 trong sự khai triển của nhị thức $(a+b)^{n}$).

4) Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì

5)

6)

7) Số tất cả các tập con của tập hợp gồm n phần tử là $2^{n}$.

3.3. Tam giác Pa-xcan (Pascal)

Có thể sắp xếp các hệ số của khai triển (1) thành tam giác sau đây (được gọi là tam giác Pa-xcan).

Ví dụ 20.

Trong khai triển $(x+y)^{25}$, hệ số của $x^{12}y^{13}$ là bao nhiêu ?

Giải.

Ta có Như vậy, trong công thức này, hệ số của $x^{12}y^{13}$ ứng với k = 13. Hệ số đó là $C_{25}^{13}$ = 5200300

Ví dụ 21.

Tìm hệ số các lũy thừa của x trong khai triển của tích

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d)(x + e)

Từ đó hãy suy ra khai triển của $(x+a)^{5}$.

Giải.

Ta có : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)(x + e) =

= $x^{5}$ + (a + b + c + d + e)$x^{4}$ +

+ ( ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de)$x^{3}$

+ (abc + abd + abe + acd + ace + ade + bcd + bce + bde + cde)$x^{2}$

+ (abcd + abce + abde + acde + bcde)x + abcde.

Đặt a = b = c = d = e, ta được :

Ví dụ 22.

Rút gọn biểu thức

Giải.

Ví dụ 23.

Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức $(x^{2}+1)^{n}$ bằng 1024. Hãy tìm hệ số a của số hạng $ax^{12}$ trong khai triển đó.

Giải.

Ta biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức Niu-tơn là $2^{n}$. Do đó, $2^{n}$ = 1024. Suy ra n = 10.

Từ đó

Ví dụ 24.

Chứng minh rằng

Giải.

Cộng vế với vế, ta được:

Tương tự, (1) trừ (2), ta được :

Ví dụ 25.

Chứng minh:

Giải.

a) Ta có:

So sánh hệ số của $x^{p}$ ở hai vế, ta được:

b) Cho p = q = r = n trong công thức trên, ta có :

Để ý rằng ta được đẳng thức phải tìm.

Ví dụ 26.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có :

chia hết cho 41.

Giải.

Ta có:

Ví dụ 27.

Đa thức $(x+y)^{9}$ được khai triển theo lũy thừa giảm dần của x. Số hạng thứ hai và thứ ba có giá trị bằng nhau khi cho x = p và y = q, trong đó p và q là các số dương có tổng là 1. Tính giá trị của p.

Giải.

Ta có :

Theo đề bài :

Thế q = 1 - p, ta được p = 4(1- p) ⇒ p = $\large \frac{4}{5}$

Ví dụ 28.

Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết rằng

Giải.

Trước hết, từ giả thiết ta được:

Từ đó: không phụ thuộc x khi và chỉ khi

Vậy hệ số của số hạng không chứa x là $C_{12}^{5}$.

BÀI TẬP

2.22. Khai triển

2.23. Tính tổng:

2.24. Chứng minh hệ thức :

2.25. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có :

2.26. Chứng minh rằng:

2.27. a) Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau:

b) Cho k, n là các số tự nhiên và 5 $\leq$ k $\leq$ n. Chứng minh rằng:

2.28. Ta kí hiệu [x] là phần nguyên của x, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

a) Chứng minh rằng là một số nguyên chẵn với mọi n $\in$ N.

b) Từ câu a), hãy suy ra rằng là một số lẻ với mọi số tự nhiên n.

HƯỚNG DẪN GIẢI

2.22.

2.23. HD : Sử dụng khai triển của $(1+2)^{5}$.

2.24. Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn với a = 1; b = -1, ta được

Ta chứng minh vế phải bằng Ta có :

Cộng vế với vế và rút gọn, ta được :

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh

2.25. a) Ta có :

Suy ra :

$4^{n}$ + 15n - 1 $\equiv$ 3n + 1 + 15n - 1 (mod 9) $\equiv$ 18n $\equiv$ 0 (mod 9).

Vậy : $4^{n}$ + 15n - 1 $\vdots$ 9 (đpcm).

b) Theo nhị thức Niu-tơn, ta có:

Suy ra :

$16^{n}$ - 15n - 1 $\equiv$ 1 + 15n - 15n - 1 $\equiv$ 0(mod 225).

Vậy : $16^{n}$ - 15n - 1 $\vdots$ 225 (đpcm).

2.26. Ta có :

Cho n = 2001 và x = 3 ta được:

Cho n = 2001 và x = - 3 ta được :

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :

suy ra điều phải chứng minh.

2.27. a) Xét khai triển của nhị thức Niu-tơn:

Cho a = b = 1, ta có đpcm.

b) Xét tích số bằng 2 cách:

+ Đó là khai triển của nhị thức Khai triển này có hệ số của $x^{k}$ với 5 $\leq$ k $\leq$ n là $C_{n+5}^{k}$.

+ Đó là đa thức tích:

Tích này có hệ số của $x^{k}$ với 5 $\leq$ k $\leq$ n là

Đồng nhất hệ số ở 2 cách ta có đpcm:

Nhận xét. Đây là trường hợp riêng của ví dụ 25 (câu a).

2.28. a) Theo nhị thức Niu-tơn, ta có:

Vì k chẵn nên $(\sqrt{3})^{k}$ là số nguyên, do đó là số nguyên chẵn với mọi n.

b) Bây giờ, ta có : Do đó :

Vậy là một số lẻ với mọi n $\in$ N (đpcm).