Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1. Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số

2.1.1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Cho (a; b) là khoảng chứa điểm $x_{0}$. Cho hàm f xác định trên (a ; b), có thể không xác định tại $x_{0}$. Ta nói hàm số f có giới hạn L khi x tiến đến $x_{0}$ nếu với mọi dãy ($x_{n}$) gồm các giá trị thuộc (a; b), mà $x_{n}$ $\neq$ $x_{0}$ với mọi n, thỏa mãn thì ta có

Kí hiệu: hoặc f(x) → L khi x → $x_{0}$

Ví dụ 7. Dùng định nghĩa dễ dàng chứng minh được

• Từ định nghĩa, để chứng tỏ không tồn tại, ta thường chỉ ra một dãy ($x_{n}$) đặc biệt nào đó tiến tới $x_{0}$, nhưng không tồn tại hoặc có thể tìm hai dãy đặc biệt ($x_{n}$), ($x'_{n}$) cùng tiến tới $x_{0}$, nhưng : Tuy nhiên, việc tìm ra các dãy như thế không phải lúc nào cũng dễ.

Ví dụ 8.

Chứng minh rằng khi x → 0, hàm số f(x) = sin$\large \frac{1}{x}$ không có giới hạn.

Giải.

2.1.2. Giới hạn vô cực

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như 2.1.1. Chẳng hạn: Ta nói hàm số f có giới hạn +$\infty$ khi x tiến đến $x_{0}$ nếu với mọi dãy ($x_{n}$) gồm các giá trị thuộc (a ; b), mà $x_{n}$ $\neq$ $x_{0}$ với mọi n, thỏa mãn thì ta có

Kí hiệu :

• Kết quả cần nhớ (suy từ định nghĩa):

Nếu f(x) → 0 khi x → $x_{0}$ thì

2.1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm f xác định trên (a ; +$\infty$). Ta nói hàm số f có giới hạn L khi x tiến đến +$\infty$ nếu với mọi dãy ($x_{n}$) trong khoảng (a ; +$\infty$), mà thì ta đều có Khi đó ta kí hiệu

Định nghĩa tương tự cho

• Kết quả cần nhớ (suy từ định nghĩa): Với k nguyên dương :

Ví dụ 9. Chứng minh rằng hàm cosx không có giới hạn khi x → +$\infty$

Giải.

Ta chỉ ra một dãy ($a_{n}$) có giới hạn vô cùng, nhưng (cos$a_{n}$) lại không có giới hạn. Xét $a_{n}$ = 2n$\pi$, n $\in$ N.

Rõ ràng $a_{n}$ → +$\infty$ khi n → $\infty$ và (cos$a_{n}$) = 1, do đó limcos$a_{n}$ = 1. Mặt khác lấy dãy $a'_{n}$ = $\pi$ + 2n$\pi$ → +$\infty$ nhưng cos$a'_{n}$ = -1 → -1. Suy ra hàm cos x không có giới hạn khi x → +$\infty$

2.1.4. Một số định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1.

Nếu có thêm giả thiết b $\neq$ 0 thì

Ví dụ 10.

Tính các giới hạn

Đáp số: $\large \frac{1}{2}$; $\large \frac{1}{2}$

Định lí 2.

c) nếu có thêm f(x) $\geq$ 0 với x $\neq$ $x_{0}$, thì L $\geq$ 0 và

Ví dụ 11.

Định lí 3.

Cho f, g là hai hàm số xác định trên (a;b) và có thể trừ tại điểm $x_{0}$. Lúc đó, nếu f(x) $\leq$ g(x) $\leq$ h(x), $\forall x_{0}$ $\in$ (a; b) \{$x_{0}$} và

Ví dụ 12.

Chú ý. Các định lí trên vẫn còn đúng khi thay x → $x_{0}$ bởi x → +$\infty$ hoặc x → -$\infty$.

2.2. Giới hạn một bên

• Cho hàm f xác định trên khoảng ($x_{0}$; b) ($x_{0}$ $\in$ R). Ta nói hàm số f có giới hạn phải là số thực L tại điểm $x_{0}$ (hoặc khi x tiến đến $x_{0}$) nếu với mọi dãy ($x_{n}$) trong khoảng ($x_{0}$; b), mà thì ta có

Kí hiệu:

• Cho hàm f xác định trên khoảng (a; $x_{0}$) ($x_{0}$ $\in$ R). Ta nói hàm số f có giới hạn trái là số thực L tại điểm $x_{0}$ (hoặc khi x tiến đến $x_{0}$) nếu với mọi dãy ($x_{n}$) trong khoảng (a ; $x_{0}$), mà thì ta có

Kí hiệu:

• Giới hạn tồn tại khi và chỉ khi cùng tồn tại

khi đó :

Ví dụ 13.

Giải.

2.3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1.

Khi đó, được cho bởi bảng sau.

Quy tắc 2.

g(x) $\neq$ 0 với mọi x $\neq$ $x_{0}$. Khi đó, được cho bởi bảng sau.

2.4. Các dạng vô định

2.4.1. Dạng vô định $\large \frac{0}{0}$

Để khử dạng vô định, ta sử dụng các phép biến đổi để khử đi các thành phần dần tới 0.

Các phép biến đổi thường sử dụng là các hằng đẳng thức, phân tích ra nhân tử và phép nhân liên hợp (để khử căn thức).

Các phương pháp này cũng được sử dụng để khử những dạng vô định khác.

Chú ý :

Lượng liên hợp bậc hai của a - b là a + b và ngược lại.

Lượng liên hợp bậc ba của a - b là $a^{2}$ + ab + $b^{2}$ và ngược lại.

Lượng liên hợp bậc ba của a + b là $a^{2}$ - ab + $b^{2}$ và ngược lại.

Lượng liên hợp bậc n của a - b là

và ngược lại.

Lượng liên hợp bậc n (n lẻ) của a + b là

và ngược lại.

Ví dụ 14.

Cho hai số thực $\alpha$, $\beta$, với $\beta$ $\neq$ 0. Tính

Giải.

Ví dụ 15.

Tìm các giới hạn sau :

Giải

Nhận xét :

Bài d) có hai biểu thức chứa căn bậc hai và căn bậc ba. Để khử đồng thời hai căn ta phải nhân lượng liên hợp bậc 6. Điều này khá phức tạp. Do vậy ta tách thành hai loại căn riêng rẽ như bài giải trên.

2.4.2. Dạng vô định $\large \frac{\infty }{\infty }$

Ví dụ 16.

Giải.

Ví dụ 17.

Tìm các giới hạn:

Giải.

Ở đây, x → +$\infty$, nên ta chỉ quan tâm khi x > 0, do đó $\sqrt{x^{2}}$ = x. Vậy

b) Tương tự, khi x → -$\infty$, ta chỉ quan tâm khi x < 0, do đó $\sqrt{x^{2}}$ = -x. Từ đó, suy ra

2.4.3. Dạng vô định $\infty$ - $\infty$

Ví dụ 18.

Tính các giới hạn:

Giải.

b) Ta có

Ta tách riêng để tính hai giới hạn như sau:

Tương tự ta có (để ý $\sqrt{x^{2}}$ = x vì ta đang xét x → +$\infty$):

Từ đó :

2.4.4. Dạng vô định 0.$\infty$

Ví dụ 19.

Giải.

BÀI TẬP

4.5.

Kết quả tính giới hạn có đúng với mọi a không ?

4.6.

Tính các giới hạn:

4.7. Chứng minh rằng khi x → 0, hàm số f(x) = cos$\large \frac{1}{x}$ không có giới hạn.

4.8. Tìm các giới hạn

4.9. Tìm các giới hạn

4.10. Tìm các giới hạn

4.11. Tính giới hạn

4.12. Tìm các giới hạn

b) biết rằng m và n là hai số nguyên dương phân biệt.

4.13. Cho biết rằng tập số thực có tính chất sau đây : Với mọi điểm b thuộc R, đều có một dãy các số hữu tỉ hội tụ đến b, và cũng có một dãy các số vô tỉ hội tụ đến b.

Hàm Dirichlet D(x) là hàm xác định trên R, nhận giá trị 1 tại mọi điểm hữu tỉ, nhận giá trị 0 tại mọi điểm vô tỉ. Nếu x → a, với a là số thực, chứng minh rằng không tồn tại giới hạn của hàm D(x).

HƯỚNG DẪN GIẢI

4.5.

Sai, vì nếu a > 0 thì ta mới có