§4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

4.1. Phép thử và biến cố

Các kiến thức của khoa học được khám phá thông qua các phép thử hay các quan sát. Một phép thử ngẫu nhiên (hay phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà :

- Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau;

- Kết quả của nó không dự đoán trước được ;

- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

Tập hợp tất cả các kết quả xảy ra trong một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu là $\Omega$.

Một biến cố (hay sự kiện) A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con $\Omega _{A}$ nào đó của $\Omega$. Mỗi phần tử của $\Omega _{A}$ được gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Ví dụ 29.

a) Nếu phép thử là gieo đồng xu xuống đất thì có hai kết quả “xuất hiện mặt sấp” và “xuất hiện mặt ngửa”.

b) Nếu phép thử là việc đo chiều cao của một học sinh trong một trường nào đó thì mỗi số liệu nhận được là một kết quả của phép thử. “Chiều cao bé hơn 1,7m” là một biến cố trong phép thử này, nó là tập hợp các số liệu nhận được bé hơn 1,7m.

4.2. Các loại biến cố

Người ta phân biệt các loại biến cố như sau:

a) Biến cố chắc chắn : Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi phép thử được thực hiện. Nếu A là biến cố chắc chắn thì $\Omega _{A}$ = $\Omega$.

b) Biến cố không thể (biến cố bất khả): Là biến cố nhất định không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố không thể A thường được kí hiệu là $\varnothing$, vì $\Omega _{A}$ = $\varnothing$.

c) Biến cố ngẫu nhiên : Là biến cố có thể xảy ra hay không xảy ra khi phép thử được thực hiện.

Ví dụ 30.

Trong phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt:

a) Biến cố “xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7" là biến cố chắc chắn.

b) Biến cố “xuất hiện mặt có 8 chấm” là biến cố không thể .

c) Biến cố “xuất hiện mặt 2 chấm” là biến cố ngẫu nhiên.

Ví dụ 31.

Trong phép thử gieo 2 đồng xu cùng một lúc. Kí hiệu S, N lần lượt là các kết quả mặt sấp hoặc mặt ngửa xuất hiện trên mỗi đồng, ta có $\Omega$ = {(SS), (SN), (NS), (NN)}.

Ta gọi A là biến cố “xuất hiện 2 mặt giống nhau”, B là biến cố “xuất hiện 2 mặt khác nhau” thì:

$\Omega _{A}$ = {(SS), (NN)}, $\Omega _{B}$ = {(SN), (NS)}.

4.3. Xác suất của biến cố

Các biến cố ngẫu nhiên đều có đặc điểm chung là việc chúng có xảy ra hay không khi phép thử được thực hiện là điều ta không thể khẳng định trước được. Mặc dầu vậy, bằng trực quan, ta có thể thấy rằng các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau. Người ta biểu thị khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên bằng một con số, gọi là xác suất của biến cố đó.

4.3.1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử phép thử T có các kết quả đều đồng khả năng, gọi $\Omega$ là không gian mẫu của nó. Gọi A là một biến cố và $\Omega _{A}$ là tập hợp các kết quả mô tả A (còn gọi là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A). Khi đó, xác suất của biến cố A là

trong đó, |$\Omega _{A}$|, |$\Omega$| lần lượt là số phần tử của $\Omega _{A}$ và $\Omega$.

Ví dụ 32.

Xét lại ví dụ 31, ta có P(A) = P(B) = $\large \frac{1}{2}$

Ví dụ 33.

Chọn một cách ngẫu nhiên một số nguyên dương N gồm 3 chữ số viết trong cơ hệ 10, trong đó mỗi số đều có cùng cơ hội được chọn. Giả sử M là số sao cho $2^{M}$ = N. Tính xác suất để M là một số nguyên.

Giải.

Trong 900 số có ba chữ số, chỉ có 3 số (128, 256 và 512) thoả mãn điều kiện: $2^{M}$ = N, trong đó M là một số nguyên. Do đó xác suất cần tìm là:

Ví dụ 34.

Trong hệ trục xOy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Tính xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2.

Giải.

Có 9 x 9 = 81 điểm mà tọa độ là số nguyên và có trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4, trong đó có 13 điểm cách O một khoảng nhỏ hơn hay bằng 2. Vậy xác suất cần tìm là $\large \frac{13}{81}$.

Chú ý : a) Định nghĩa cổ điển trên chỉ áp dụng được cho phép thử có các trường hợp là đồng khả năng và số kết quả là hữu hạn. Khi gieo một con xúc xắc đều đặn và đồng chất thì mặc nhiên ta thừa nhận việc xuất hiện tất cả các mặt là đồng khả năng, còn nếu hạt xúc xắc bị sứt mẻ thì sự xuất hiện của các mặt không còn đồng khả năng được nữa.

b) Theo định nghĩa, ta có:

(i) O $\leq$ P(A) $\leq$ 1

(ii) P($\Omega$) = 1 và P($\varnothing$) = 0.

4.3.2. Định nghĩa thống kê của xác suất

Xét một phép thử có liên quan đến biến cố A. Giả sử phép thử này có thể thực hiện lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện giống nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử, biến cố A xuất hiện k lần thì k được gọi là tần số xuất hiện của biến cố A trong n phép thử nói trên. Tỉ số $\large \frac{k}{n}$ được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử.

Người ta chứng minh được rằng khi số phép thử n càng lớn thì tần suất của biến cố càng ổn định trong một biên độ nhất định nào đó. Biên độ này càng nhỏ đi nếu như số lần thực hiện phép thử càng lớn. Vì vậy, trong thực nghiệm, người ta lấy tần suất xuất hiện của A làm xác suất xuất hiện biến cố A.

Ví dụ 35.

Dựa vào thực nghiệm như bảng sau khi gieo nhiều lần một đồng xu, người ta kết luận rằng xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu là gần bằng 0,5

Chú ý. Nếu xác suất tai nạn trên đường là 0,01 thì xác suất này thuộc loại lớn. Nhưng nếu xác suất để một học sinh đi trễ là 0,01 thì có thể xem xác suất này là rất nhỏ. Nói cách khác, con số biểu thị xác suất có ý nghĩa khác nhau theo từng vấn đề khảo sát khác nhau.

BÀI TẬP

2.29. Trong một chiếc hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ, các viên bi này hoàn toàn giống nhau về hình dáng và kích thước. Ta lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp này. Gọi A là biến cố lấy được viên bi màu trắng. Tính xác suất của biến cố A.

2.30. Trong phép thử gieo con xúc xắc 6 mặt đều đặn và đồng chất, ta gọi A là biến cố “xuất hiện mặt 6 chấm”. Tính P(A).

2.31. Một chiếc hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi đỏ hoàn toàn giống nhau về hình dáng và kích thước. Mỗi lần thử lấy ngẫu nhiên cùng một lúc 3 viên bi. Tính:

a) Xác suất để lấy được 3 viên bi màu đỏ.

b) Xác suất để lấy được 3 viên bi mà trong đó có 2 viên đỏ và 1 viên trắng.

2.32. Gieo đồng thời 3 con xúc xắc 6 mặt đều đặn và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 3 mặt bằng 9.

2.33. Đổ ba hột xúc xắc tốt (tất cả mặt đều có cùng cơ hội xuất hiện). Tìm xác suất để ba số hiện ra có thể sắp xếp để tạo thành ba số tự nhiên liên tiếp.

HƯỚNG DẪN GIẢI

2.29.

2.30.

2.31. a) Số trường hợp đồng khả năng của phép thử là số tổ hợp gồm 3 viên bi khác nhau lấy từ 10 viên bi : n = $C_{10}^{3}$.

Gọi B là biến cố "lấy được 3 viên bi màu đỏ”. Số trường hợp thuận lợi cho B là số tổ hợp gồm 3 viên bi được lấy từ 7 viên bi màu đỏ: m = $C_{7}^{3}$.

Theo định nghĩa xác suất, ta có:

b) Gọi C là biến cố lấy được 3 viên bi, trong đó có 2 viên đỏ và 1 viên trắng. Số trường hợp đồng khả năng của phép thử vẫn là n = $C_{10}^{3}$. Số trường hợp thuận lợi cho C được tính như sau:

- Số trường hợp thuận lợi cho biến cố có 2 viên đỏ là $C_{7}^{2}$.

- Số trường hợp thuận lợi cho biến cố có 1 viên trắng là $C_{3}^{1}$.

Như vậy số trường hợp thuận lợi cho C là : m = $C_{7}^{2}$.$C_{3}^{1}$. Do đó, xác suất để cho C xảy ra là :

2.32. Không gian mẫu của phép thử “gieo đồng thời 3 con xúc xắc” là :

Số phần tử của tập $\Omega$ là $6^{3}$ = 216 (tức là số trường hợp đồng khả năng của phép thử). Trong số các trường hợp đồng khả năng này, các trường hợp tổng số chấm bằng 9 như sau:

(1,2,6) và 5 hoán vị của nó,

(1,3,5) và 5 hoán vị của nó,

(1,4,4) và 2 hoán vị của nó,

(2,2,5) và 2 hoán vị của nó,

(2,3,4) và 5 hoán vị của nó,

(3,3,3).

Gọi A là biến cố “tổng số nốt xuất hiện trên 3 mặt bằng 9” thì số trường hợp thuận lợi cho A là:

m = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25.

Vậy xác suất để A xuất hiện :

2.33. Biến cố cần tính xác suất ở đề bài là các hoán vị của (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5) và (4, 5, 6). Có tất cả 3!.4 = 24 hoán vị như thế. Vậy xác suất cần tìm là: