§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ THAM SỐ

Ví dụ 36.

Cho phương trình: sin3x – mcos2x = (m + 1)sinx + m = 0.

Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0, 3$\pi$).

Giải.

Phương trình đã cho tương đương với :

sinx(4$sin^{2}$x - 2msinx + m - 2) = 0.

Từ đó ta được hai phương trình:

sinx = 0 (1)

4$sin^{2}$x - 2msinx + m - 2 = 0. (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1}$ = $\pi$, $x_{2}$ = 2$\pi$ thuộc (0, 3$\pi$). Do vậy, yêu cầu của bài toán đòi hỏi phương trình (2) phải có đúng 6 nghiệm thuộc (0, 3$\pi$) nhưng khác $\pi$ và 2$\pi$.

Đặt t = sinx. Phương trình (2) tương đương với :

Để phương trình (2) có 6 nghiệm trong khoảng (0, 3$\pi$), điều kiện cần và đủ là phương trình (3) có 2 nghiệm $t_{1}$, $t_{2}$ thoả mãn một trong hai trường hợp a) và b) sau đây :

Ví dụ 37.

Với giá trị nào của a thì phương trình 1 + $sin^{2}$ax = cosx có nghiệm duy nhất?

Giải.

Ta có vế trái lớn hơn hoặc bằng 1, đẳng thức xảy ra khi

sinax = 0 ⇔ ax = k$\pi$ (k $\in$ Z).

Vế phải của phương trình nhỏ hơn hoặc bằng 1, đẳng thức xảy ra khi x = l2$\pi$ (l $\in$ Z).

Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ (1) và (2):

Khi a = 0, phương trình có vô số nghiệm x = k2$\pi$ (k $\in$ Z).

Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

Ta thấy khi k = l = 0 thì x = 0 thoả mãn phương trình. Vì vậy, để phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là không tồn tại k $\neq$ 0 thoả mãn (3).

Nếu a là số hữu tỉ thì tồn tại vô số k $\neq$ 0 thoả mãn (3).

Nếu a là số vô tỉ thì không có k $\neq$ 0 nào thoả mãn (3).

Vậy để phương trình 1 + $sin^{2}$ax = cosx có nghiệm duy nhất điều kiện cần và đủ là a là số vô tỉ.