Dãy số

Dãy số

§2. DÃY SỐ

2.1. Định nghĩa

Một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) là một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương.

Một dãy số hữu hạn là một hàm số u xác định trên tập m số nguyên dương đầu tiên.

Một dãy số được kí hiệu là ($u_{n}$) hoặc {$u_{n}$}.

2.2. Cách cho một dãy số

Người ta có thể cho dãy số bằng cách đưa ra công thức tổng quát của nó ; hoặc cho bằng hệ thức truy hồi.

2.3. Dãy số tăng, giảm

Dãy số ($u_{n}$) được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}$ > $u_{n}$ với mọi n = 1, 2, ... Dãy số ($u_{n}$) được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}$ < $u_{n}$ với mọi n = 1, 2, ... Dãy số tăng hoặc giảm được gọi là dãy đơn điệu.

2.3. Dãy số bị chặn

Dãy số ($u_{n}$) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho $u_{n}$ $\leq$ M với mọi n $\in$ N*.

Dãy số ($u_{n}$) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho $u_{n}$ $\geq$ m với mọi n $\in$ N*.

Dãy bị chặn là dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Hiển nhiên rằng mọi dãy hữu hạn đều bị chặn.

Ví dụ 6.

Cho dãy số {$u_{n}$}, với

a) Tính giá trị $u_{4}$.

b) Dãy ($u_{n}$) có bị chặn trên không ?

c) Xét tính đơn điệu của dãy ($u_{n}$).

Giải.

a) Ta có :

b) Từ ta dự đoán rằng $u_{n}$ < 1 với mọi n. Ta chứng minh điều này bằng quy nạp.

Rõ ràng u = $\large \frac{1}{2}$ < 1. Giả sử $u_{k}$ < 1. Khi đó, 2 - $u_{k}$ > 1 nên:

Vậy $u_{n}$ < 1 với mọi n. Nói cách khác, ($u_{n}$) bị chặn trên.

c) Với mọi n, ta có

điều này xảy ra vì $u_{n}$ > 0 với mọi n.

Vậy $u_{n+1}$ > $u_{n}$ với mọi n, do đó dãy ($u_{n}$) là dãy số tăng.

Ví dụ 7.

Trong dãy số 1, 3, 2, ... mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 thì bằng số hạng đứng trước nó trừ đi số hạng đứng trước số hạng này, tức $u_{n}$ = $u_{n-1}$ - $u_{n-2}$, với n $\geq$ 3.

Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Giải.

Xét 8 số hạng đầu của dãy : 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3. Vì số hạng thứ 7 và 8 lần lượt bằng số hạng thứ 1 và 2, do đó dãy số có tính tuần hoàn, lặp lại từng nhóm 6 số hạng. Hơn nữa tổng của 6 số hạng là 0, do đó tổng của 96 = 6.16 số hạng đầu cũng bằng 0. Suy ra tổng của 100 số hạng đầu bằng tổng 4 số hạng cuối : 1 + 3 + 2 - 1 = 5.

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là 10.

Ví dụ 8.

Với dãy số ($u_{n}$) có số hạng tổng quát là $u_{n}$ = $n^{3}$ + n, ta đặt