§4. LƯỢNG GIÁC HOÁ CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT NHỜ VIỆC ĐẶT ẨN PHỤ

Thông thường, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm GTNN và GTLN có thể đưa được về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công thức và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc.

Về việc đặt ẩn phụ (t), tóm tắt những kinh nghiệm như sau:

Những điểm cần chú ý:

- Chú ý giới hạn cung, góc, và điều kiện.

- Điều kiện có nghiệm của phương trình a sin x + b cos x = c là

Ví dụ 41.

Cho $\mid x\mid \leq 1$. Tìm GTLN của

Giải.

Vì $\mid x\mid \leq 1$ nên có thể đặt x = cos2t, khi đó:

Như vậy $y\leq 2^{n}$. Dấu "=" xảy ra khi sin t cos t = 0 ⇔

Vậy max y = $2^{n}$.

Ví dụ 42. Cho các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện

Tìm GTLN của T = a + d.

Giải.

Vì $a^{2}$ + $b^{2}$ = 25 nên có thể đặt a = 5sin $\alpha$, b = 5cos $\alpha$,

$c^{2}$ + $d^{2}$ = 16 nên có thể đặt c = 4cos$\beta$, d = 4sin$\beta$, từ đó:

ac + bd = 20sin$\alpha$cos$\beta$ + 20cos$\alpha$sin$\beta$ = 20 sin($\alpha$ + $\beta$) $\leq$ 20.

Từ giả thiết ac + bd $\geq$ 20, suy ra

Ví dụ 43.

Cho $\mid x\mid \leq 1$. Tìm GTLN của:

Giải.

a)

Dấu "=" xảy ra, chẳng hạn khi x = 1. Vậy max y = 1.

b) Vì $\mid x\mid \leq 1$ nên đặt x = cos$\alpha$, ta có:

suy ra y = cos4$\alpha$ $\leq$ 1. Dấu "=" xảy ra, chẳng hạn, khi x = 0.

Vậy max y = 1.

Ví dụ 44.

Tìm GTLN, GTNN của :

Giải.

a) Vì x $\in$ R nên đặt x = tan $\alpha$, ta được:

Ví dụ 45.

Cho $a^{2}$ + $b^{2}$ = 1. Tìm GTLN của:

Giải.

Ví dụ 46. Tìm GTLN, GTNN của:

Giải.

Ví dụ 47.

Tìm GTLN, GTNN của :

Giải.

Điều kiện có nghiệm x của phương trình trên là :

Vậy max y = 1 + $\sqrt{3}$, min y = 1 - $\sqrt{3}$.

b) Ta có

D = R, ta biến đổi thành phương trình:

(1 + y) cos 2x + sin 2x = 3y-1.

Điều kiện có nghiệm của phương trình trên là :

Giải ra ta được :

Ví dụ 48.

Với a, b $\in$ R, tìm GTLN, GTNN của

Giải.