VẤN ĐỀ 6. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN I)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2. Theo định nghĩa tiếp tuyến.
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn
Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tiếp điểm là C ta có thể làm theo các cách sau:
Cách 1. OC $\small \perp$ a tại C và C $\small \in$ (O).
Cách 2. Vẽ OH $\small \perp$ a. Chứng minh OH = OC = R.
Cách 3. Vẽ tiếp tuyến a' của (O). Ta chứng minh a $\small \equiv$ a'.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A; đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K;
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 3. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn (O).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến của (O).
Bài 4. Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:
a) Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O);
b) Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy.
Bài 6. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia AB tại M.
a) Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi;
b) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O)?
Bài 7. Cho (O) và d không cắt (O). Dựng tiếp tuyến của (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy M trên (O) và tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) ở C và D; AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F.
a) Chứng minh $\small \widehat{COD}$ = 90°;
b) Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi BD, CE là các tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) với D, E là các tiếp điểm. Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Bài 10. Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD, BC cùng vuông góc với xy (các điểm D, C nằm trên xy). Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
Ta có: $\small BC^{2}$ = $\small AB^{2}$ + $\small AC^{2}$
⇒ $\small \widehat{BAC}$ = 90°.
Bài 2.
a) $\small \widehat{BAC}$ = 90°;
b) Gọi O là trung điểm AI. Ta có:
+ OK = OA ⇒ $\small \widehat{OKA}$ = $\small \widehat{OAK}$
+ $\small \widehat{OAK}$ = $\small \widehat{HBK}$ (cùng phụ $\small \widehat{ACB}$)
+ HB = HK ⇒ $\small \widehat{HBK}$ = $\small \widehat{HKB}$
⇒ $\small \widehat{OKA}$ = $\small \widehat{HKB}$ ⇒ $\small \widehat{HKO}$ = 90°.
* Nhận xét: Không sử dụng tính chất tam giác cân trong lời giải nên cách làm sẽ không thay đổi nếu giả thiết chỉ cho tam giác thường.
Bài 3.
a) Gọi O là trung điểm của AH thì OE = OA = OH = OD;
b) Chứng minh tương tự Bài 2b.
Bài 4.
Trung trực AB cắt đường thẳng vuông góc với d ở A tại O. Đường tròn (O; OA) là đường tròn cần dựng.
Bài 5.
a) Tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O)
⇒ OC $\small \perp$ BC
⇒ OA $\small \perp$ AD (vì AD // BC)
⇒ AD là tiếp tuyến của (i);
b) ABCD là hình hbh ⇒ AC cắt BD tại trung điểm I của AC;
AN và CN là tiếp tuyến của O ⇒ ON cắt AC tại trung điểm I của AC
⇒ ON, AC, BD cùng đi qua trung điểm I của AC.
Bài 6.
a) Dễ có AMON là hình bình hành. Ta chứng minh OM = ON.
Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:
$\small \widehat{OBM}$ = $\small \widehat{OCN}$ = 90°;
OB = OC = R, và $\small \widehat{OMB}$ = $\small \widehat{ONC}$ = $\small \widehat{A}$
⇒ $\small \Delta$OBM = $\small \Delta$OCN
⇒ OM = ON ⇒ AMON là hình thoi;
b) AMON là hình thoi
⇒ OA $\small \perp$ MN và OA = 2 lần khoảng cách từ O đến MN.
Do đó MN là tiếp tuyến của (O; R) ⇔ khoảng cách từ O đến MN = R ⇔ OA = 2R.
Bài 7.
Từ O hạ OH vuông góc với d. OH cắt (O) tại A và B.
Qua A và B kẻ các đường vuông góc với OA và OB ta được hai (hoặc 1 nếu d là tiếp tuyến của (O)) tiếp tuyến song song với d.
Bài 8.
a) M thuộc đường tròn đường kính AB ⇒ $\small \widehat{AMB}$ = 90° hay $\small \widehat{EMF}$ = 90°
Tiếp tuyến CM, CA ⇒ OC $\small \perp$ AM ⇒ $\small \widehat{OFM}$ = 90°
Tiếp tuyến DM, DB ⇒ OD $\small \perp$ BM ⇒ $\small \widehat{OEM}$ = 90°
⇒ OEMF là hình chữ nhật
⇒ $\small \widehat{EOF}$ = 90° ⇒ $\small \widehat{COD}$ = 90°;
b) MEOF là hình chữ nhật;
c) Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn đường kính CD và IO = IC = ID. Có ABDC là hình thang vuông tại A và B nên IO // AC // BD và IO vuông góc với AB. Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Bài 9.
a) BH, BD là tiếp tuyến của (A; AH) ⇒ $\small \widehat{HAD}$ = 2$\small \widehat{HAB}$
CH, CE là tiếp tuyến của (A; AH) ⇒ $\small \widehat{HAE}$ = 2$\small \widehat{HAC}$
⇒ $\small \widehat{HAD}$ + $\small \widehat{HAE}$ = 2($\small \widehat{HAB}$ + $\small \widehat{HAC}$) = 180°
⇒ D, A, E thẳng hàng
b) Tương tự Bài 8c.
Bài 10.
Có ABCD là hình thang vuông tại C và D. Mà O là trung điểm AB và OM vuông góc với CD (CD tiếp tuyến của (O))
⇒ AD + BC = 2OM = 2R.
Chú ý rằng CD $\tiny \leq$ AB (hình chiếu đường xiên)
⇒ $S_{ABCD}$ = $\large \frac{1}{2}$(AD + BC).CD = R.CD $\tiny \leq$ R.AB = 2$\small R^{2}$.
Do đó:
$S_{ABCD}$ lớn nhất khi CD = AB hay M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB.