VẤN ĐỀ 9. TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU (PHẦN II)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
• Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
• Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
• Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
• Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 2. Chứng minh tiếp tuyến, tính độ dài, tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau:
1. Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
2. Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
3. Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc $\small \widehat{AMB}$ = 60°. Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.
Bài 2. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Chứng minh $\small \widehat{BAC}$ = 60° khi và chỉ khi OA = 2R .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài IG.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 4. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến ME và MF sao cho góc $\small \widehat{EMO}$ = 30°. Biết chu vi tam giác MEF là 30cm, tính độ dài dây EF.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và một điểm I ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến IB, IC. Chứng minh rằng $\small \widehat{BIO}$ = 30° khi và chỉ khi OI = 2R.
Bài 6. Cho tam giác EBC vuông tại E có EB = 3cm, EC = 4cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EBC, G là trọng tâm của tam giác EBC. Tính độ dài IG.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 7. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD và AO song song.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A. I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Gọi O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OK);
c) Tính bán kính đường tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
AB = 6 cm.
Bài 2.
$\small \widehat{BAC}$ = 60° ⇒ $\small \widehat{BAO}$ = 30°
⇒ AO = 2OB = 2R
AO = 2R = 2OB
⇒ $\small \widehat{BAO}$ = 30° ⇒ $\small \widehat{BAC}$ = 60°
⇒ tam giác ABC đều.
Bài 3.
Gọi D là giao điểm của IG và AB. Tính được DG = $\large \frac{2}{3}$AM = 4.
D là tiếp điểm của (I) với AB nên
AD = $\large \frac{AB+AC-BC}{2}$ = 3
⇒ ID = DA = 3 ⇒ IG = DG - ID = 1.
Bài 4.
$\small \Delta$MEF đều ⇒ EF = 10.
Bài 5.
$\small \Delta$OIC vuông tại C.
$\small \widehat{OIC}$ = 30° ⇒ OI = 2R.
Xét $\small \Delta$OBI có OI = 2R
⇒ $\small \widehat{OIB}$ = 30°.
Bài 7.
a) OA phân giác của $\small \widehat{BOC}$
$\small \Delta$OBC cân tại O
⇒ OA $\small \perp$ BC;
b) $\small \widehat{BDC}$ = $\small \widehat{COA}$ (cùng phụ với góc $\small \widehat{OCB}$)
⇒ DB // OA;
c) $\small \Delta$ABC đều
⇒ AB = BC = AC = 2$\sqrt{3}$.
Bài 8.
a) BI, BK lần lượt là phân giác trong và ngoài góc $\small \widehat{B}$ nên BI vuông góc với BK, suy ra $\small \widehat{IBK}$ = 90°, tương tự $\small \widehat{ICK}$ = 90°;
b) $\small \widehat{ACI}$ = $\small \widehat{ICB}$ = $\small \widehat{IBC}$ = $\small \widehat{IKC}$ mà $\small \widehat{IKC}$ + $\small \widehat{KIC}$ = 90°
⇒ $\small \widehat{ACI}$ + $\small \widehat{OCI}$ = 90°;
c) BC và AK cắt BC tại H.
Ta có: HB = HC (AK là trung trực của BC)
⇒ HC = $\large \frac{BC}{2}$ = 12.
AH = $\sqrt{AC^{2}-HC^{2}}$ = 16
$\small \Delta$ACH ~ $\small \Delta$COH (tam giác vuông chung góc nhọn tại O)
⇒ $\large \frac{AH}{AC}$ = $\large \frac{HC}{CO}$
⇒ CO = $\large \frac{AC.HC}{AH}$ = 15.