Ôn tập chủ đề 4: Đường tròn (phần I)

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 4: ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN I)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn

a) Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

b) Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và điểm M.

• M nằm trên đường tròn (O; R) ⇔ OM = R.

• M nằm trong đường tròn (O; R) ⇔ OM < R.

• M nằm ngoài đường tròn (O; R) ⇔ OM > R.

c) Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

d) Tính chất đối xứng của đường tròn

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

• Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

2. Quan hệ đường kính và dây cung.

a) So sánh độ dài của đường kính và dây: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

b) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

• Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

• Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

c) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

• Trong một đường tròn:

- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

• Trong hai dây của một đường tròn:

- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

- Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Đặt d = d(O,a) . Ta có:

b) Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng gọi tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung của đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp điểm.

4. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

• Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

• Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

5. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

a) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

b) Đường tròn nội tiếp tam giác

• Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.

• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

c) Đường tròn bàng tiếp tam giác

• Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

• Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

• Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

6. Vị trí tương đối của hai đường tròn

a) Tính chất đường nối tâm

• Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

b) Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r). Đặt OO' = d. Ta có:

c) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

- Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

- Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB và dây AC không qua tâm O. Gọi H là trung điểm của AC.

a) Tính $\small \widehat{ACB}$ và chúng minh OH // BC;

b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OH ở M. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của (O) tại A;

c) Vẽ CK vuông góc AB tại K. Gọi I là trung điểm của CK và đặt $\small \widehat{CAB}$ = $\alpha$.

Chứng minh IK = 2Rsin$\alpha$.cos$\alpha$;

d) Chứng minh ba điểm M, I, B thẳng hàng.

Bài 2. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm E ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến EM và EN (M và N là các tiếp điểm). OE cắt MN tại H.

a) Chứng minh OE vuông góc với MN.

b) Vẽ đường kính NOB. Chứng minh OBMH là hình thang.

c) Cho ON = 2 cm và OE = 4 cm. Tính độ dài các cạnh và diện tích tam giác EMN.

Bài 3. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự tại M và N.

a) Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh hệ thức: DM. DA = DN. DB

c) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC và CB.

d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?

Bài 4. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của BO, qua I kẻ dây CD vuông góc với OB. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia AB tại E.

a) Tính độ dài OE theo R.

b) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?

c) Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O).

d) Chứng minh B là trực tâm tam giác CDE.

Bài 5. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn(O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. SA cắt đường tròn (O) tại M . Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CD tại F.

a) Chứng minh: EM.AM = MF.OA;

b) Chứng minh: ES = EM = EF;

c) Cho SB cắt (O) tại I. Chứng minh A, I, F thẳng hàng,

c) Cho EM = R, tính FA.SM theo R;

d) Kẻ MH vuông góc với AB. Xác định vị trí điểm S sao cho diện tích tam giác MHD đạt giá trị lớn nhất.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) $\small \widehat{ACB}$ = 90°, OH là đường trung bình của $\small \Delta$ABC ⇒ OH // BC;

b) $\small \Delta$AMO = $\small \Delta$CMO

⇒ $\small \widehat{MAO}$ = $\small \widehat{MCO}$ = 90°

⇒ MA là tiếp tuyến của (O);

c) IK = $\large \frac{1}{2}$CK = $\large \frac{1}{2}$AC.sin$\alpha$ = $\large \frac{1}{2}$AC.sin$\alpha$ = Rcos$\alpha$sin$\alpha$;

d) Giả sử BI cắt AM tại N.

Vì IK // AM ⇒ $\large \frac{IK}{AN}$ = $\large \frac{BK}{AB}$

⇒ $\large \frac{IK}{AM}$ = $\large \frac{BK}{AB}$ (= $sin^{2}$$\alpha$)

⇒ M $\small \equiv$ N.

Bài 2.

a) Dựa vào tính chất tiếp tuyến, chứng minh EO là đường trung bình của MN

⇒ OE $\small \perp$ MN;

b) Chứng minh MB // OH $\small \perp$ MN ⇒ OBMN là hình thang;

c) EN = EM = 2$\sqrt{3}$ cm

MN = 2NH = 2$\sqrt{3}$ cm

$S_{ENM}$ = 3$\sqrt{3}$ $cm^{2}$.

Bài 3.

a) Chứng minh DMCN là hình chữ nhật;

b) Chứng minh DM.DA = $\small DC^{2}$; DN.DB = $\small DC^{2}$

⇒ DM.DA = DN.DB;

c) Gọi G, I, C lần lượt là tâm của các nửa đường tròn đường kính AC, AB và CB. Gọi O là tâm của hình chữ nhật DMCN

Chứng minh: $\small \Delta$MGO = $\small \Delta$CGO ⇒ MN $\small \perp$ MG

Tương tự chứng minh được MN $\small \perp$ NH

⇒ MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn đường kính AC và CB

d) Vì DMCN là hình chữ nhật ⇒ MN = DC

MN lớn nhất khi DC lớn nhất

Mà DC $\tiny \leq$ DI ⇒ MN lớn nhất khi C $\small \equiv$ I hay C là trung điểm AB.

Bài 4.

a) OE = 2R;

b) Chứng minh I là trung điểm của AE (AI = IE = 1,5R)

Từ đó chứng minh ACED là hình thoi (tính chất hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường);

c) Chứng minh được: $\small \widehat{ODE}$ = $\small \widehat{OCE}$ = 90°

⇒ ED là tiếp tuyến của (O);

d) Từ câu c, có EB là phân giác của $\small \widehat{CED}$. Chứng minh $\small \widehat{DCB}$ = $\small \widehat{BCE}$ = 30°

⇒ BE là phân giác của $\small \widehat{ECD}$

⇒ B là trực tâm $\small \Delta$CDE.

Bài 5.

a) Chứng minh $\small \Delta$MEF $\small \Delta$MAO

⇒ EM.AM = MF.OA;

b) $\small \Delta$MEF $\small \Delta$MAO mà AO = OM ⇒ ME = MF

$\small \Delta$MSF vuông tại M mà ME = MF, từ đó chứng minh được ME = ES

⇒ ES = EM = EF

Chứng minh F là trực tâm của $\small \Delta$SAB, mà AI là đường cao, chứng minh được A, I, F thẳng hàng;

c) FA.SM = 2$\small R^{2}$;

d) $S_{MHD}$ = $\large \frac{1}{2}$OH.MH

OH.MH ≤ $\large \frac{1}{2}$($\small OH^{2}$ + $\small MH^{2}$) = $\large \frac{1}{2}$$\small MO^{2}$ = $\large \frac{1}{2}$$\small R^{2}$

⇒ $S_{MHD}$ lớn nhất khi H là trung điểm của AO

⇒ OS = 2MH = R$\sqrt{2}$.