Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn (phần I)

CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TRÒN

VẤN ĐỀ 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN I)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Đường tròn

Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R > 0) là đường tròn tâm O có bán kính R. Ký hiệu: (O) hoặc (O; R)

2. Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O; R)

3. Định lý (về sự xác định một đường tròn)

- Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

- Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

4. Tính chất đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng. Tâm đối xứng là tâm đường tròn, trục đối xứng là bất kì đường kính nào.

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn

Phương pháp giải: Ta có các cách sau.

Cách 1. Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm nào đó.

Cách 2. Dùng định lí: “Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.”

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 1. Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Bài 2. Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Bài 3. Cho tam giác ABC có đường cao AD và trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HA, HB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:

a) Bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn;

b) Điểm D cũng thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có $\small \widehat{C}$ + $\small \widehat{D}$ = 90°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 5. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O) và M là điểm nằm trong (O). Chứng minh các trung điểm của các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 6. Cho hình thoi ABCD. Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F. Chứng minh E, F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD.

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2 cm, BC = 8 cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D.

a) Chứng minh các điểm B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AD.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự D, E.

a) Chứng minh CD $\small \perp$ AB và BE $\small \perp$ AC.

b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK $\small \perp$ BC.

Bài 9. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C di động trên đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy M sao cho OM = OH.

a) Hỏi điểm M chạy trên đường nào?

b) Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Hỏi điểm D chạy trên đường nào?

Bài 10. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Gọi O là trung điểm của AB, P là giao điểm của CO và BD. Chứng minh P chạy trên một đường tròn khi C, D thay đổi.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) Gọi O là trung điểm của BC ⇒ O là tâm đường tròn đi qua A, B, C;

b) OA = OB = OC ⇒ OA = $\large \frac{1}{2}$BC

⇒ $\small \Delta$ABC vuông tại A.

Bài 2.

Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: B, C, D, E nằm trên (O; $\large \frac{BC}{2}$).

Bài 3.

a) IFEK là hình bình hành tâm O có:

CH $\small \perp$ IK, KE // CH

⇒ IK $\small \perp$ KE

⇒ IFEK là hình chữ nhật

⇒ I, F, E, K cùng thuộc (O;OI).

b) Chứng minh KD $\small \perp$ DF ⇒ $\small \Delta$KDF vuông.

Bài 4.

MNPQ là hình chữ nhật tâm O ⇒ M, N, P, Q cùng thuộc (O;OM).

Bài 5.

Gọi E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của MA, MB, MC, MD. Chứng minh tứ giác EFPQ có hai góc đối có tổng bằng 180°

⇒ E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6.

Trong hình thoi, đường chéo này là trung trực của đường chéo kia. Do đó, điểm E là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\small \Delta$ABC. Tương tự, F là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\small \Delta$ABD.

Bài 7.

a) Ta có: $\small \widehat{ACD}$ = 90°

⇒ C thuộc đường tròn đường kính AD.

Chứng minh $\small \widehat{ABD}$ = 90°

⇒ B thuộc đường tròn đường kính AD

⇒ B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AD;

b) AD = 10 cm.

Bài 8.

a) Gọi O là trung điểm của BC. Mà D $\small \in$ (O;$\large \frac{1}{2}$BC)

⇒ OB = OD = OC

⇒ $\small \Delta$BDC vuông tại D

⇒ CD $\small \perp$ AB. Tương tự BE $\small \perp$ AC;

b) Xét $\small \Delta$ABC có K là trực tâm

⇒ AK $\small \perp$ BC.

Bài 9.

a) Gọi EF là đường kính của (O;$\large \frac{AB}{2}$) sao cho EF $\small \perp$ AB. Xét trường hợp C chạy trên nửa đường tròn $\small \widehat{EBF}$. Chứng minh $\small \Delta$OMB = $\small \Delta$OHC(c.g.c)

⇒ $\small \widehat{OMB}$ = $\small \widehat{OHC}$ = 90°.

Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB;

b) Vì C $\small \in$ (O) ⇒ $\small \widehat{ACB}$ = 90° hay AC $\small \perp$ BD. Mà CD = CB

⇒ $\small \Delta$ADB có AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên $\small \Delta$ADB cân tại A

⇒ AD = AB nên D chạy trên (A;AB).

Bài 10.

Gọi I là tâm hình thoi.

Chứng minh P là trọng tâm của $\small \Delta$ABC.

Kẻ PQ // AI

⇒ Q cố định ⇒ P thuộc đường tròn đường kính QB.