VẤN ĐỀ 4. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN II)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. So sánh độ dài của đường kính và dây: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau đây:
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
- Dùng phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Dùng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, quan hệ cạnh huyền và cạnh góc vuông...
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây cung CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F. Chứng minh CE = DF.
Bài 2. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ hai dây AC và BD song song. Chứng minh AC = BD.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 3. Cho đường tròn (O), dây cung AB và CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB và CD nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn (O; OK), đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại M và N. Chứng minh KM < KN.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn và có các đường cao BD, CE. Chứng minh:
a) B, D, C, E cùng thuộc một đường tròn;
b) BC > DE.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho tam giác ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD.
a) Chứng minh BHCD là hình bình hành.
b) Kẻ đường kính OI vuông góc BC tại I. Chứng minh ba điểm I, H, D thẳng hàng.
c) Chứng minh AH = 2OI.
Bài 6. Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Vẽ hai dây AD và BC song song nhau. Chứng minh:
a) AD = BC;
b) CD là đường kính của (O).
Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH = DK.
Bài 8. Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H.
a) Chứng minh bốn điểm B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.
b) Chứng minh AB.AE = AC.AD.
c) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
d) Xác định tâm O của đường tròn qua các điểm A, B, K, C.
e) Chứng minh OI và AH song song.
Bài 9. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung BC không chứa A. Gọi D, E lần lượt đối xứng M qua AB, AC. Tìm vị trí của M để độ dài đoạn thẳng DE lớn nhất.
Bài 10. Cho điểm A nằm trên đường tròn (O) có CB là đường kính, AB < AC. Vẽ dây AD vuông góc với BC tại H. Chứng minh:
a) Tam giác ABC vuông tại A;
b) H là trung điểm AD, AC = CD và BC là tia phân giác góc $\small \widehat{ABD}$;
c) $\small \widehat{ABC}$ = $\small \widehat{ADC}$.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
Gọi I là trung điểm CD
⇒ IC = ID.
Xét hình thang AEFB, I là trung điểm EF
⇒ IE = IF. Từ đó CE = DF.
Bài 2.
$\small \Delta$AOH = $\small \Delta$BOK
⇒ AH = BK
⇒ AC = BD.
Bài 4.
a) B, D, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC;
b) BC là đường kính, ED dây không qua tâm.
Bài 5.
a) BD // CH (cùng $\small \perp$ AB);
BH // CD (cùng $\small \perp$ AC);
b) I là trung điểm BC
⇒ I là trung điểm HD;
c) OI là đường trung bình $\small \Delta$AHD ⇒ AH = 2OI.
Bài 6.
Chứng minh tương tự Bài 2.
Bài 7.
Chứng minh tương tự Bài 1.
Bài 8.
a) B, D, C, E nằm trên đường tròn đường kính BC;
b) $\small \Delta$ADB .png)
$\small \Delta$AEC
⇒ AE.AB = AD.AC;
c) BHCK có I là trung điểm hai đường chéo;
d) $\small \Delta$ABK, $\small \Delta$ACK vuông tại B và C nên A, B, K, C nằm trên đường tròn đường kính AK;
e) OI là đường trung bình của $\small \Delta$AHK ⇒ OI // AH.
Bài 9.
Kẻ MH $\small \perp$ DE tại H
$\small \widehat{DAE}$ = 2$\small \widehat{BAC}$ ⇒ $\small \widehat{DAH}$ = $\small \widehat{BAC}$
DE = 2DH; AD = AM = AE
DH = AD.sin $\small \widehat{DAH}$ = AM.sin $\small \widehat{BAC}$ $\small \leq$ d.sin $\small \widehat{BAC}$ (d là đường kính (O)).
DE đạt giá trị lớn nhất khi AM là đường kính của (O).
Bài 10.
a) OA = OB = OC ⇒ $\small \Delta$ABC vuông tại A;
b) H là trung điểm AD; AC = CD (BC là trung trực của AD);
BC là tia phân giác góc $\small \widehat{ABD}$ ($\small \Delta$ABD cân tại B có BH là đường cao);
c) $\small \widehat{BAH}$ = $\small \widehat{ACH}$ = $\small \widehat{DAH}$
⇒ $\small \widehat{ABH}$ = $\small \widehat{CDH}$.