VẤN ĐỀ 8. TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU (PHẦN I)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
• Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
• Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
• Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
• Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp giải: Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau ở A.
a) Chứng minh AO $\small \perp$ BC.
b) Chứng minh AO là trung trực của đoạn thẳng BC.
c) Vẽ đường kính CD của (O). Chứng minh BD và OA song song.
Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh COD là tam giác vuông.
b) Chứng minh MC.MD = $\small OM^{2}$.
c) Cho biết OC = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 3. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm). Kẻ BE $\small \perp$ AC và CF $\small \perp$ AB (E $\small \in$ AC, F $\small \in$ AB), BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.
b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.
c) Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O).
Bài 4. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại C. Chứng minh CM = CO.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I và vuông góc với IA cắt OB tại K. Chứng minh:
a) IK // OA;
b) Tam giác IOK cân.
Bài 6. Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn O, nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
a, b) Có AB = AC; OB = OC
⇒ AO là trung trực của BC
c) BD // OA vì cùng vuông góc với BC.
Bài 2.
a) $\small \widehat{DOC}$ = 90°;
b) $\small \Delta$COM ~ $\small \Delta$ODM;
c) AC = R$\sqrt{3}$, BM = $\large \frac{R\sqrt{3}}{3}$.
Bài 3.
a) BO // HC, OC // BH
OC // BH ⇒ OCHB là hình thoi;
b) OA $\small \perp$ BC, HO $\small \perp$ BC ⇒ A, H, O thẳng hàng
c) Để H $\small \in$ (O) thì OH = OC = CH
⇒ $\small \widehat{CAO}$ = 30° ⇒ AO = 2R.
Bài 4.
$\small \widehat{AMO}$ = $\small \widehat{CMO}$ ⇒ $\small \widehat{CMO}$ = $\small \widehat{COM}$.
Bài 5.
a) IK // OA vì cùng vuông góc vói IA;
b) $\small \widehat{KOI}$ = $\small \widehat{AOI}$ và $\small \widehat{AOI}$ = $\small \widehat{KIO}$
⇒ $\small \widehat{KOI}$ = $\small \widehat{KIO}$.
Bài 6.
Chu vi tam giác ADE = AD + DM + AE + EM = AB + AC = 2AB.