VẤN ĐỀ 3. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN I)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. So sánh độ dài của đường kính và dây: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
3. Dùng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M.
Biết AB = 18 cm, CD = 14 cm, MC = 4 cm. Hãy tính:
a) Khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và CD;
b) Bán kính của đường tròn (O).
Bài 2. Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 2 cm, IB = 4 cm . Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 3. Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và hai dây AB và AC. Biết AB = 5 cm, AC = 2cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.
Bài 4. Cho đường tròn (O) và dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O) tại H. Tính bán kính R của (O) biết CD = 16 cm và MH = 4 cm.
Bài 5. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB; dây CD cắt AB tại M. Biết MC = 4cm, MD = 12 cm và $\small \widehat{BMD}$ = 30°. Hãy tính:
a) Khoảng cách từ O đến CD;
b) Bán kính đường tròn (O).
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Cho đường tròn (O; 5cm). Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 8 cm và 6 cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.
Bài 7. Cho đường tròn (O) bán kính OA = 11 cm. Điểm M thuộc bán kính AO và cách O khoảng 7 cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng MC, MD.
Bài 8. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 13 cm, dây CD có độ dài 12 cm vuông góc với AB tại H.
a) Tính HA, HB;
b) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN.
Bài 9. Cho đường tròn (O), dây AB = 24 cm, dây AC = 20 cm, $\small \widehat{BAC}$ < 90° và O nằm trong góc $\small \widehat{BAC}$. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm.
a) Chứng minh tam giác ABC cân.
b) Tính bán kính của đường tròn.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
a) Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của O trên AB và
CD. OK = $\sqrt{41}$ (cm);
OH = MK = 3 (cm);
b) R = 3$\sqrt{10}$ (cm).
Bài 2.
a) Gọi OH, OK là khoảng cách từ O đến mỗi dây. Ta có:
OH = OK = 1 (cm);
b) R = $\sqrt{10}$ (cm).
Bài 3.
Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, AC.
Ta có: OH = $\large \frac{\sqrt{11}}{2}$; OK = 2$\sqrt{2}$.
Bài 4.
Gọi OD = x (cm), ta có:
OM = x - 4 (cm)
⇒ $x^{2}$ = $8^{2}$ + $(x-4)^{2}$
⇒ x = 10 (cm).
Bài 5.
a) Gọi OH là khoảng cách từ O đến CD: MH = 4 (cm)
⇒ OH = $\large \frac{4\sqrt{3}}{3}$ (cm);
b) OD = $\large \frac{4\sqrt{39}}{3}$ (cm).
Bài 6.
Gọi HK là đường thẳng qua O và vuông góc với AB và CD,
H $\small \in$ AB, K $\small \in$ CD.
Ta có:
OH = 3, OK = 4 ⇒ HK = 7 (cm).
Bài 7.
Kẻ OE $\small \perp$ CD, E $\small \in$ CD.
Ta có:
OC = 11, CE = 9 ⇒ OE = 2$\sqrt{10}$
OM = 7 ⇒ ME = 3
⇒ MC = EC - ME = 6(cm), MD = 12(cm).
Bài 8.
a) HA = 4cm, HB = 9cm;
b) HM = $\large \frac{12\sqrt{13}}{13}$ cm;
HN = $\large \frac{18\sqrt{13}}{13}$ cm;
⇒ $S_{CMHN}$ = $\large \frac{216}{13}$ $cm^{2}$.
Bài 9.
a) $\large \frac{MH}{AM}$ = $\large \frac{BK}{AB}$
⇒ BK = 19,2
⇒ AK = 14,4
⇒ KC = 5,6
⇒ BC = 20 (cm)
⇒ BC = AC;
b) CO cắt AB tại E
⇒ CE = 2HM = 16 (cm)
CM.CA = CO.CE
⇒ CO = $\large \frac{CM.CA}{CE}$ = 12,5 (cm).