ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 4: ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN II)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem lại lý thuyết ở Ôn tập Chủ đề 4 (Phần I)

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D $\small \in$ (O), E $\small \in$ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt ED tại I. Gọi M là giao điểm của OI với AD, N giao điểm AE với O’I.

a) Tứ giác AMIN là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh hệ thức IM. IO = IN. IO'.

c) Chứng minh OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

d) Tính độ dài DE theo R và R'.

Bài 2. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d') với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d') ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d') ở N.

a) Chứng minh OM = OP và $\small \Delta$NMP cân.

b) Hạ OI $\small \perp$ MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh AM.BN = $\small R^{2}$.

d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất.

Bài 3. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R, điểm C thuộc nửa đường tròn. Kẻ phân giác BI của góc $\small \widehat{ABC}$ (I thuộc đường tròn(O)), gọi E là giao điểm của AI và BC.

a) Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao?

b) Gọi K là giao điểm của AC và BI. Chứng minh EK vuông góc với AB;

c) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I. Chứng minh rằng AF tiếp tuyến của (O);

d) Khi điểm C di chuyển trên nửa đường tròn thì điểm E di chuyển trên đường nào?

Bài 4. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (I) có đường kính CB.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (I);

b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (I). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng

d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng và các điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn;

b) Kẻ đường kính BD của (O). Vẽ CK vuông góc với BD. Chứng minh AC.CD = CK.AO;

c) Tia AO cắt đường tròn (O) tại M (M nằm giữa A và O). Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC;

d) Gọi I là giao điểm của AD và CK. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại điểm D và đường tròn đường kính CH cắt cạnh AC tại điểm E. Gọi I, J theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH.

a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm trên một đường tròn. Xác định hình dạng tứ giác ADHE;

b) Chứng minh hai đường tròn đường kính BH và CH tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm H và AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn;

c) Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn;

d) Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng DE.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) Chứng minh AMIN là hình chữ nhật (theo dấu hiệu tứ giác có ba góc vuông)

b) Chứng minh: IM.IO = $\small IA^{2}$ và IN.IO' = $\small IA^{2}$

⇒ IM.IO = IN.IO'

c) Chứng minh I là tâm đường tròn đường kính DE mà IA $\small \perp$ OO′ nên OO′ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE

d) DE = 2$\sqrt{R.R'}$.

Bài 2.

a) $\small \Delta$MAO = $\small \Delta$PBO

⇒ MO = OP ⇒ $\small \Delta$MNP cân vì đường cao NO đồng thời là đường trung tuyến

b)

⇒ OI = R

⇒ MN là tiếp tuyến của (O)

c) AM. BN = MI.IN = $\small OI^{2}$ = $\small R^{2}$

d) $S_{AMNB}$ = $\large \frac{(MA+BN).AB}{2}$ = $\large \frac{MN.AB}{2}$

⇒ $S_{AMNB}$ nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất ⇔ AM = R.

Bài 3.

a) $\small \Delta$ABE cân vì BI vừa là đường cao vừa là phân giác

b) Chứng minh K là trực tâm $\small \Delta$ABE ⇒ EK $\small \perp$ AB

c) Chứng minh: $\small \widehat{AFB}$ + $\small \widehat{ABF}$ = $\small \widehat{KBC}$ + $\small \widehat{BKC}$ = 90°

⇒ $\small \widehat{FAB}$ = 90°

⇒ FA là tiếp tuyến của (O)

d) C di chuyển trên (O) thì E di chuyển trên (B; BA).

Bài 4.

a) (O) và (I) tiếp xúc ngoài

b) ADCE là hình thoi (theo dấu hiệu hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường)

c) Chứng minh EC // AD và CK // AD, từ đó suy ra E, C, K thẳng hàng

d) Chứng minh $\small \widehat{DFB}$ + $\small \widehat{DKH}$

⇒ $\small \widehat{DKH}$ + $\small \widehat{IKB}$ = 90°

⇒ $\small \widehat{HIK}$ = 90°

⇒ HK là tiếp tuyến của (I).

Bài 5.

a) Chứng minh AH $\small \perp$ BC và HO $\small \perp$ BC ⇒ A, H, O thẳng hàng

Chứng minh $\small \Delta$ABO và $\small \Delta$ACO cùng nội tiếp đường tròn đường kính AO nên A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh $\small \Delta$CKD $\small \Delta$ACO ⇒ AC.CD = CK.AO

c) AM và BM là hai đường phân giác của tam giác ABC ⇒ M là tâm đường tròn nội tiếp $\small \Delta$ABC

d) Chứng minh HI // BD mà H là trung điểm của BC nên I là trung điểm của CK.

Bài 6.

a) Chứng minh $\small \Delta$AHD và $\small \Delta$AHE nội tiếp đường tròn đường kính AH nên A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

b) Sử dụng định nghĩa để chứng minh đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH tiếp xúc ngoài với nhau tại H. Vì AH $\small \perp$ BH và CH nên AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

c) Gọi O là giao điểm của AH và ED. Chứng minh $\small \widehat{IDO}$ = $\small \widehat{AHI}$ = 90° và $\small \widehat{JEO}$ = $\small \widehat{AHJ}$ = 90°

⇒ ED là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

d) DE = 4,8cm.