VẤN ĐỀ 2. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN II)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Nhắc lại lý thuyết: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

• $AB^{2}$ = BH.BC hay $c^{2}$ = ac'

• $AC^{2}$ = CH.BC hay $b^{2}$ = ab'

• AB. AC = BC. AH hay cb = ah

• $HA^{2}$ = HB.HC hay $h^{2}$ = c'b'

•

• $BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ (Định lí Pitago)

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 2. Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng:

Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.

Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.

Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 1. Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD, CE. Chứng minh:

a) CD.CM = CE.CN;

b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác CED.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI, cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh:

a) Tam giác DIL là tam giác cân

b) Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AH là đường cao.

a) Chứng minh $AB^{2}$ + $CH^{2}$ = $AC^{2}$ + $BH^{2}$;

b) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh: AM.AB = AN. AC.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh hình thoi là h, AC = m, BD = n. Chứng minh:

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 15 cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD.

b) Vẽ AH vuông góc với BD tại H. Tính độ dài đoạn thẳng AH.

c) Đường thẳng AH cắt BC và DC lần lượt tại I và K. Chứng minh: $AH^{2}$ = HI.HK.

Bài 6. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết AB = 15 cm, AD = 20 cm, các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng OB và OD

b) Độ dài đoạn thẳng AC;

c) Diện tích hình thang ABCD.

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh:

a)

b) BC.BE.CF = $AH^{3}$.

Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A có AH và BK là hai đường cao. Kẻ đường thẳng vuông góc BC tại B cắt tia CA tại D. Chứng minh:

a) BD = 2AH;

b)

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) CD.CM = CE.CN (= $CH^{2}$);

b) $\small \Delta$CMN $\small \Delta$CDE (c.g.c) vì $\small \widehat{C}$ chung và

Bài 2.

a) $\small \Delta$ADI = $\small \Delta$CDL (g.c.g)

⇒ DI = DL ⇒ $\small \Delta$DIL là tam giác cân;

b)

Bài 3.

a) $AB^{2}$ + $CH^{2}$ = ($BH^{2}$ + $AH^{2}$) + $CH^{2}$ = $BH^{2}$ + ($AH^{2}$ + $CH^{2}$) = $BH^{2}$ + $AC^{2}$;

b) Làm tương tự câu a) bài 1, có AM.AB = AN.AC (= $AH^{2}$).

Bài 4.

⇒ đpcm.

Bài 5.

a) BD = 17; b) AH = $\large \frac{120}{17}$;

c) $\small \Delta$BHI $\small \Delta$KCI (g.g)

⇒ $\small \widehat{HBI}$ = $\small \widehat{IKC}$

⇒ $\small \Delta$HKD $\small \Delta$HBI (g.g)

⇒

⇔ HK.HI = HD.HB = $AH^{2}$.

Bài 6.

a) OB = 9 (cm); OD = 16 (cm)

b) OA = 12; AC = $\large \frac{100}{3}$;

c) $S_{ABCD}$ = $\large \frac{1250}{3}$ ($cm^{2}$).

Bài 7.

Bài 8.

a) AH là đường trung bình của $\small \Delta$BCD ⇒ BD = 2AH.