Nhắc lại, bổ sung các khái niệm về hàm số và đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

VẤN ĐỀ 1. NHẮC LẠI, BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y gọi là hàm số của x (x gọi là biến số).

Ta viết: y = f(x), y = g(x),...

• Giá trị của hàm số f(x) tại điểm $x_{0}$ kí hiệu là f($x_{0}$).

• Tập xác định D của hàm số y = f(x) là tập hợp các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.

• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y = f(x) gọi là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M(x;y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy sao cho x, y thoả mãn hệ thức y = f(x).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Khi đó:

- Hàm số đồng biến trên D ⇔

- Hàm số nghịch biến trên D ⇔

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Phương pháp giải: Để tính giá trị $y_{0}$ của hàm số y = f(x) tại điểm $x_{0}$ ta thay x = $x_{0}$ vào f(x), ta được $y_{0}$ = f($x_{0}$).

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:

Bài 1. Cho hai hàm số f(x) = $x^{2}$ và g(x) = 3 - x.

a) Tính f(-3), f($\large \frac{-1}{2}$), f(0), g(-1), g(-2), g(3);

b) Xác định giá trị của a để 2f(a) = g(a).

* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:

Bài 2. Cho hai hàm số g(x) = -2$x^{2}$ và h(x) = 3x + 5.

a) Tính g(-0,4), g($\large \frac{-3}{4}$), g(2), h(-1,4), h(-1);

b) Xác định các giá trị của m để $\large \frac{1}{2}$g(m) = h(m).

Dạng 2. Biểu diễn tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ

Phương pháp giải: Để biểu diễn điểm M($x_{0}$;$y_{0}$) trên mặt phẳng tọa độ ta làm như sau:

- Vẽ đường thẳng song song với trục Oy tại điểm có hoành độ x = $x_{0}$;

- Vẽ đường thẳng song song với trục Ox tại điểm có tung độ y = $y_{0}$;

- Giao điểm của hai đường thẳng trên chính là điểm M($x_{0}$;$y_{0}$).

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 3. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hãy biểu diễn các điểm sau đây:

A(3;0); B(-2;0); C(0;4); D(3;3); E(2;-2); F(-4;-4).

b) Điểm nào trong số các điểm trên thuộc đồ thị hàm số y = x.

Bài 4. Cho hàm số y = -2,5x.

a) Xác định vị trí của điểm A(1;-2,5) trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị hàm số.

b) Trong các điểm B(2;-5), C(3;7), D(1;2,5), E(0;4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 5. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm sau đây:

A(2;0), B(-3;0),C(0;3), D(0;-4), E(1;4), F(-4;2).

b) Điểm nào trong các điểm trên thuộc đồ thị hàm số y = -$\large \frac{1}{2}$x.

Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ vẽ đường thẳng d đi qua điểm O(0;0) và điểm A($\large \frac{-1}{2}$;$\large \frac{3}{2}$). Hỏi đường thẳng d là đồ thị của hàm số nào?

Dạng 3. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2. Giả sử $x_{1}$ < $x_{2}$ và $x_{1}$, $x_{2}$ $\small \in$ D. Xét hiệu H = f($x_{1}$) - f($x_{2}$).

+ Nếu H < 0 với $x_{1}$, $x_{2}$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.

+ Nếu H > 0 với $x_{1}$, $x_{2}$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 7. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = 1 - 4x;

b) y = 2x + 1.

Bài 8. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = -$\large \frac{1}{2}$x;

b) y = $\sqrt{2}$(x - 1) + $\sqrt{3}$.

Bài 9. Cho hàm số f(x) = $\sqrt{x}$.

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến;

b) Trong các điểm A(4; 2), B(2; 1), C(9; 3), D(8;2$\sqrt{2}$), điểm nào thuộc và điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? Vì sao?

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 10. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = 1000x;

b) y = -3x - $\large \frac{1}{2}$.

Bài 11. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = $\large \frac{-3x+5}{4}$;

b) y = $\sqrt{2}$(x + 3) + x$\sqrt{3}$.

Dạng 4. Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0)

Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau:

1. Đồ thị hàm số dạng y = ax (a ≠ 0) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm E(1;a).

2. Cho hai điểm A($x_{A}$;$y_{A}$) và B($x_{B}$;$y_{B}$). Khi đó độ dài đoạn thẳng AB được tính theo công thức:

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 12. Cho hai hàm số y = 3,5x và y = -3,5x.

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.

b) Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?

c) Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số đã cho?

Bài 13. Cho các hàm số y = x và y = 2x.

a) Vẽ đồ thị của các hàm số trên trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ y = 4 lần lượt cắt các đường thẳng y = 2x, y = x tại hai điểm A, B.

i) Tìm tọa độ của các điểm A và B;

ii) Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 14. Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

a) y = 3x và y = -$\large \frac{1}{3}$x;

b)* y = 2 và y = -3,5.

Bài 15. Cho các hàm số y = -x và y = $\large \frac{-1}{2}$x.

a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên

b) Qua điểm H(0;-5) vẽ đường thẳng d song song với trục Ox, cắt các đường thẳng y = -x và y = $\large \frac{-1}{2}$x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B;

c) Tính chu vi và diện tích tam giác AOB theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm.

Bài 16. Cho hàm số y = (m + 1)x.

a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nhận giá trị bằng -5 tại x = 5;

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;3)?

c) Tìm giá trị của m để điểm B(0;4) thuộc đồ thị hàm số.

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 17. Cho các hàm số y = f(x) = $\large \frac{2}{3}$x và y = g(x) = $\large \frac{2}{3}$x + 3.

a) Tính f(-2), f(0), f($\large \frac{1}{2}$) và g(-2), g(0), g($\large \frac{1}{2}$);

b) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị?

Bài 18. Cho các hàm số y = 0,5x và y = 0,5x + 2.

a) Tính giá trị của mỗi hàm số theo giá trị đã cho của biến x rồi điền vào bảng sau:

b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số khi biến x lấy cùng một giá trị?

Bài 19. Cho hàm số

a) Tìm các giá trị của x để hàm số xác định;

b) Tính f(4 - 2$\sqrt{3}$) và f($a^{2}$) với a < -1;

c) Tìm x nguyên để f(x) là số nguyên;

d) Tìm x sao cho f(x) = f($x^{2}$).

Bài 20. Cho hàm số y = f(x)= ax - 5 . Xác định a nếu biết:

a) y = 5 tại x = -1; b) f($\large \frac{1}{2}$) = -4.

Bài 21. Cho hàm số y = $\large \frac{12}{5}$x.

a) Xác định vị trí của điểm A (-1;$\large \frac{-12}{5}$) trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị hàm số;

b) Xét xem trong các điểm B(2;$\large \frac{-24}{5}$), C(3;$\large \frac{35}{5}$), D(0;2,5), E(-100;0), điểm nào thuộc đồ thị hàm số?

Bài 22. Cho điểm A(2;1). Xác định:

a) Tọa độ điểm B đối xứng với A qua trục tung;

b) Tọa độ điểm C đối xứng với A qua trục hoành;

c) Tọa độ điểm D đối xứng với A qua O;

d)* Diện tích tứ giác ABCD.

Bài 23. Cho hàm số y = (3 - 2$\sqrt{2}$)x + $\sqrt{2}$ - 1.

a) Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số trên;

b) Tính giá trị của y khi x = 3 + 2$\sqrt{2}$;

c) Tìm các giá trị của x để y = 0.

Bài 24. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = 3x + $\sqrt{2}$;

b) y = 1 - $\sqrt{2}$x;

c) y = 3($x^{3}$ - 1).

Bài 25. Cho hàm số y = 3x.

a) Vẽ đồ thị hàm số;

b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách tới gốc tọa độ là 2$\sqrt{10}$. Xác định tọa độ điểm A.

Bài 26. Cho hàm số y = (2m - 3)x.

a) Tìm m để hàm số nhận giá trị bằng -3 tại x = 2;

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;5)?

c) Tìm m để điểm B(-5;0) thuộc đồ thị hàm số.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) Ta có f(-3) = 9; f(-$\large \frac{1}{2}$) = $\large \frac{1}{4}$; ƒ(0) = 0; g(-1) = 4; g(-2) = 5; g(3) = 0.

b) a = -$\large \frac{3}{2}$ hoặc a = 1.

Bài 2.

a) Ta có: g(-0,4) = -0,32; h(-1,4) = 0,8; h(-1) = 2; g($\large \frac{-3}{4}$) = -$\large \frac{9}{8}$; g(2) = -8.

b) m $\small \in$ Ø.

Bài 3.

a) Học sinh tự vẽ.

b) D và F thuộc đồ thị.

Bài 4.

a) Học sinh tự vẽ.

b) B thuộc đồ thị.

Bài 5.

a) Học sinh tự vẽ.

b) F thuộc đồ thị.

Bài 6.

d: y = -3x.

Bài 7.

a) Nghịch biến;

b) Đồng biến.

Bài 8.

a) Nghịch biến;

b) Đồng biến.

Bài 9.

a) Đồng biến;

b) A, C, D thuộc đồ thị; B không thuộc đồ thị.

Bài 10.

a) Đồng biến;

b) Nghịch biến.

Bài 11.

a) Nghịch biến;

b) Đồng biến.

Bài 12.

a) Học sinh tự vẽ;

b) y = 3,5x đồng biến, y = -3,5x nghịch biến;

c) Hai đồ thị đối xứng nhau qua trục Ox và trục Oy.

Bài 13.

a) Học sinh tự vẽ;

b) i) A(2;4), B(4;4);

ii) $C_{OAB}$ = 2 + 2$\sqrt{5}$ + 4$\sqrt{2}$; $S_{OAB}$ = 4.

Bài 14.

Học sinh tự vẽ.

Bài 15.

a) Học sinh tự vẽ;

b) A(5;-5), B(10;-5);

c) $C_{OAB}$ = 5(1 + $\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$); $S_{OAB}$ = $\large \frac{25}{2}$.

Bài 16.

a) m = -2; b) m = $\large \frac{1}{2}$; c) Ø.

Bài 17.

a) f(-2) = $\large \frac{-4}{3}$; f(0) = 0; f($\large \frac{1}{2}$) = $\large \frac{1}{3}$;

g(-2) = $\large \frac{5}{3}$; g(0) = 3; g($\large \frac{1}{2}$) = $\large \frac{10}{3}$;

b) Hơn nhau 3 đơn vị.

Bài 18.

Tương tự Bài 17.

Bài 19.

a) x ≥ 0; x $\small \neq$ 1; b) -3 - 2$\sqrt{3}$; $\large \frac{a-1}{a+1}$;

c) x $\small \in$ {0;4;9}; d) x = 0.

Bài 20.

a) a = -10; b) a = 2.

Bài 21.

a) Học sinh tự vẽ;

b) Không có điểm nào thuộc đồ thị.

Bài 22.

a) B(-2;1); b)C(2;-1);

c) D(-2;-1); d) $S_{ABCD}$ = 8.

Bài 23.

a) Đồng biến; b) y = $\sqrt{2}$;

c) x = -1 - $\sqrt{2}$.

Bài 24.

a) Đồng biến;

b) Nghịch biến;

c) Lưu ý: nên hàm số đồng biến.

Bài 25.

a) Học sinh tự vẽ;

b) $A_{1}$(2;6); $A_{2}$(-2;-6).

Bài 26.

a) m = $\large \frac{3}{4}$; b) m = -1; c) m = $\large \frac{3}{2}$.