Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

VẤN ĐỀ 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng bất kì. Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng đó. Ta có bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

2. Định lý

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Cho biết d, R, xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hoặc ngược lại

Phương pháp giải: So sánh d và R dựa vào bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 1. Điền vào các chỗ trống (...) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):

Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 3) và các trục tọa độ.

Bài 3. Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 2 cm. Lấy điểm O trên a và vẽ đường tròn (O; 2cm). Chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng b.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(2; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (B; 2) và các trục tọa độ.

Bài 5. Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3 cm. Lấy điểm O trên a và vẽ đường tròn (O; 3cm). Chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng b

Dạng 2. Xác định vị trí tâm đường tròn có bán kính cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước

Phương pháp giải: Xác định xem tâm đường tròn cách đường thẳng cho trước một khoảng là bao nhiêu rồi sử dụng tính chất điểm cách đều một đường thẳng cho trước một khoảng cho trước.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:

Bài 6. Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1 cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào?

* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:

Bài 7. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, cách nhau một khoảng là h. Một đường tròn (O) tiếp xúc với a và b. Hỏi tâm O di động trên đường nào?

Dạng 3. Bài liên quan đến tính độ dài

Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và định lý Pitago.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 8. Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm và một điểm A cách O là 10 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

Bài 9. Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 1,6R. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại M và N. Tính diện tích tam giác OMN.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 10. Cho đường tròn (O; 2cm) và một điểm A chạy trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến xy. Trên xy lấy một điểm M sao cho AM = 2$\sqrt{3}$. Hỏi điểm M di động trên đường nào?

Bài 11. Cho đường tròn (O; 2cm). Cát tuyến qua A ở ngoài (O) cắt (O) tại B và C. Cho biết AB = BC và kẻ đường kính COD. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 12. Cho đường thẳng xy đi qua điểm A nằm trong đường tròn (O;R). Chứng minh đường thẳng xy và đường tròn (O; R) cắt nhau.

Bài 13. Cho đường tròn (O; 5cm) và điểm A sao cho OA = 5 cm. Đường thẳng xy đi qua điểm A. Chứng minh đường thẳng xy và đường tròn (O; 5 cm) cắt nhau.

Bài 14. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm C(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (C; 2) và các trục tọa độ.

Bài 15. Cho đường thẳng a, tâm I của các đường tròn có bán kính 5 cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào?

Bài 16. Điểm A cách đường thẳng xy là 12 cm.

a) Chứng minh (A; 13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi hai giao điểm của (A; 13cm) với xy là B, C. Tính BC.

Bài 17. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C là điểm thuộc (O), tiếp tuyến qua C là d. Kẻ AE, BF vuông góc với d, CH vuông góc với AB. Chứng minh CE = CF và $CH^{2}$ = AE.BF.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

Bài 2.

(A;3) không giao nhau với Ox và tiếp xúc với Oy.

Bài 3.

O thuộc a và a // b nên O cách b một khoảng 2 cm ⇒ (O;2cm) tiếp xúc với b.

Bài 4.

(B;2) không giao nhau với O và (B;2) tiếp xúc với Oy.

Bài 5.

O $\small \in$ a và a // b nên O cách b một khoảng 3 cm ⇒ (O;3cm) tiếp xúc với b.

Bài 6.

Tâm đường tròn nằm trên hai đường thẳng a, b song song với đường thẳng xy và cách xy một khoảng 1 cm.

Bài 7.

O nằm trên đường thẳng song song với a, b và cách đều a, b một khoảng $\large \frac{h}{2}$.

Bài 8.

AB = 8cm.

Bài 9.

$S_{OMN}$ = $\large \frac{4}{3}$$R^{2}$.

Bài 10.

M di chuyển trên (O; 4cm).

Bài 11.

AD = 4 cm.

Bài 12.

Kẻ OH vuông góc với xy suy ra OH < OA.

Mặt khác: A nằm trong đường tròn (O; R) nên OA < R.

Bài 13.

Kẻ OH vuông góc với xy suy ra OH $\tiny \leq$ OA.

Mặt khác: A nằm trên đường tròn (O; R) nên OA $\tiny \leq$ R.

Bài 14.

(C;2) không cắt hai trục Ox, Oy.

Bài 15.

Tâm I thuộc hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng 5 cm.

Bài 16.

a) Kẻ OH vuông góc với xy thì OH = 12 cm do đó (O) cắt xy tại hai điểm B, C;

b) BC = 2.HC = 10cm.

Bài 17.

OC là đường trung bình của hình thang AEFB nên C là trung điểm của EF.

Chú ý rằng: AE = AH, BH = BF nên suy ra:

$\small CH^{2}$ = HA.HB = AE.BF.