VẤN ĐỀ 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d': y = a'x + b' (a, a' $\small \neq$ 0). Khi đó ta có:
.png)
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chỉ ra các cặp đường thẳng song song, các cặp đường thẳng cắt nhau
Phương pháp giải: Cho đường thẳng d: y = ax + b và d': y = a'x + b' với a, a’ $\small \neq$ 0. Khi đó:
.png)
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau:
a) y = 1,5x + 2; b) y = x + 2; c) y = 0,5x - 3;
d) y = x - 3; e) y = 1,5x - 1; g) y = 0,5x + 3.
Bài 2. Cho hai hàm số y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2k - 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là:
a) Hai đường thẳng cắt nhau;
b) Hai đường thẳng song song với nhau;
c) Hai đường thẳng trùng nhau.
Bài 3. Với những giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = 2x + m + 3 và y = 3x + 5 - m:
a) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
b) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành?
Bài 4. Cho ba đường thẳng:
$d_{1}$: y = ($m^{2}$ - 1)x + ($m^{2}$ - 5); $d_{2}$: y = x + 1; $d_{3}$: y = − x + 3.
a) Tìm điểm cố định mà $d_{1}$ luôn đi qua.
b) Chứng minh nếu $d_{1}$ song song $d_{3}$ thì $d_{1}$ vuông góc $d_{2}$.
c) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ đồng quy.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 5. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau:
a) y = $\sqrt{3}$x - 1; b) y = 2 - x; c) y = -0,3x;
d) y = -0,3x - 1; e) y = 3 + $\sqrt{3}$x; g) y = -x + 3.
Bài 6. Cho các đường thẳng:
$d_{1}$: y = (2m + 1)x - (2m + 3); $d_{2}$: y = (m - 1)x + m.
Tìm các giá trị của m để:
a) $d_{1}$ cắt $d_{2}$.
b) $d_{1}$ song song $d_{2}$.
c) $d_{1}$ vuông góc $d_{2}$.
d) $d_{1}$ trùng với $d_{2}$.
Bài 7. Cho các đường thẳng $d_{1}$: y = mx - 5, $d_{2}$: y = -3x + 1. Xác định giá trị của m để M(3;-8) là giao điểm của $d_{1}$ và $d_{2}$.
Bài 8. Cho các đường thẳng:
$d_{1}$: y = 4mx - (m + 5), $d_{2}$: y = (3$m^{2}$ + 1)x + ($m^{2}$ - 4).
a) Chứng minh khi m thay đổi thì đường thẳng $d_{1}$ luôn đi qua một điểm A cố định, đường thẳng $d_{2}$ luôn đi qua một điểm B cố định.
b) Với giá trị nào của m thì $d_{1}$ song song $d_{2}$?
c) Với giá trị nào của m thì $d_{1}$ cắt $d_{2}$? Tìm toạ độ giao điểm khi m = 2.
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng
Phương pháp giải:
1. Ta có y = ax + b với a $\small \neq$ 0, b $\small \neq$ 0 là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm A(0;b), cắt trục hoành tại điểm B(-$\large \frac{b}{a}$;0)
2. Điểm M($x_{0}$;$y_{0}$) thuộc đường thẳng y = ax + b khi và chỉ khi $y_{0}$ = a$x_{0}$ + b.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 9. Cho hàm số y = ax + 3 . Hãy xác định a trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x;
b) Khi x = 2 thì hàm số có giá trị y = 7;
c) Đồ thị hàm số y = ax + 3 cắt đường thẳng y = 2x - 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Bài 10. Cho hàm số y = 2x + b. Tìm b biết rằng:
a) Với x = 4 thì hàm số y = 2x + b có giá trị bằng -5;
b) Đồ thị hàm số y = 2x + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3;
c) Đồ thị hàm số y = 2x + b đi qua điểm A(1;5).
Bài 11. Viết phương trình đường thẳng d biết:
a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2;
b) d song song với đường thẳng y = -5x + 1 và đi qua điểm I(-2;3);
c) d vuông góc với đường thẳng y = -$\large \frac{1}{4}$x + 3 và đi qua điểm K(0,5;4).
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 12. Cho hàm số y = 7 - ax . Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số y = 7 - ax song song với đường thẳng y = 4x;
b) Đồ thị hàm số y = 7 - ax vuông góc với đường thẳng y = -3,2x;
c) Đồ thị hàm số y = 7 - ax cắt đường thẳng y = 1,2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng -1.
Bài 13. Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3. Tìm giá trị của m để hàm số:
a) Luôn đồng biến? Luôn nghịch biến?
b) Có đồ thị song song với đường thẳng y = 3x - 3 + m;
c) Có đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x - 3 + m;
d) Có đồ thị cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 3;
e) Có đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3;
g) Cùng các hàm số y = -x + 2, y = 2x - 1 có đồ thị là ba đường thẳng đồng quy.
Bài 14. Viết phương trình đường thẳng d biết:
a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5 và đi qua điểm A(1; 3).
b) d song song với đường thẳng y = -2x + 8 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5.
c) d vuông góc với đường thẳng y = x + 3 và cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại điểm có tung độ bằng 5.
Bài 15. Cho hai đường thẳng:
$d_{1}$: y = mx - 2(m + 2) và $d_{2}$: y = (2m - 3)x + ($m^{2}$ - 1).
Tìm các giá trị của m để:
a) $d_{1}$ cắt $d_{2}$.
b) $d_{1}$ song song $d_{2}$.
c) $d_{1}$ vuông góc $d_{2}$.
d) $d_{1}$ trùng với $d_{2}$.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 16. Cho các đường thẳng:
$d_{1}$: y = -2x + 3, $d_{2}$: y = -2x + m và $d_{3}$: y = $\large \frac{1}{2}$x + 1.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
a) $d_{1}$ và $d_{2}$.
b) $d_{2}$ và $d_{3}$.
Bài 17. Với những giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x - 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm trên:
a) Trục hoành?
b) Trục tụng?
Bài 18. Tìm điểm sao cho các đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào:
a) y = 2mx + 1 - m.
b) y = mx - 3 - x.
c) y = (2m + 5)x + m + 3.
d) y = m(x + 2).
Bài 19. Cho hai đường thẳng $d_{1}$: y = (m + 1)x - 3 và $d_{2}$: y = (2m - 1)x + 4.
a) Chứng minh khi m = -$\large \frac{1}{2}$ thì $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc với nhau.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc với nhau.
Bài 20. Viết hàm số bậc nhất y = ax + b biết:
a) Hệ số b bằng $\sqrt{3}$ và đồ thị hàm số song song với đường thẳng d: 2x - y + 1 = 0.
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(3;2) và B(1;-1).
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm C(2;-1) và vuông góc với đường thẳng d': y = 3x + 1.
Bài 21. Cho ba đường thẳng: $d_{1}$: y = x + 2, $d_{2}$: y = 2x + 1, $d_{3}$: y = ($m^{2}$ + 1)x + m.
a) Xác định tọa độ giao điểm của $d_{1}$ và $d_{2}$.
b) Tìm các giá trị của tham số m để:
i) $d_{2}$ và $d_{3}$ song song với nhau.
ii) $d_{1}$ và $d_{3}$ trùng nhau.
iii) $d_{1}$, $d_{2}$ và $d_{3}$ đồng quy.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
a và e; b và d; c và g.
Bài 2.
a) m $\small \neq$ $\large \frac{1}{2}$; b) m = $\large \frac{1}{2}$, k $\small \neq$ -3;
c) m = $\large \frac{1}{2}$, k = -3.
Bài 3.
a) m = 1; b) m = $\large \frac{1}{5}$.
Bài 4.
a) A(-1;-4);
b) $d_{1}$ // $d_{3}$ ⇔ m = 0 ⇒ $d_{1}$ $\small \perp$ $d_{2}$;
c) .png)
Bài 5.
a và e; b và g; c và d.
Bài 6.
a) m $\small \neq$ -2; b) m = -2; c) m = 0 hoặc m = $\large \frac{1}{2}$; d) m $\small \in$ Ø.
Bài 7.
m = -1.
Bài 8.
a) A($\large \frac{1}{4}$;-5), B(-$\large \frac{1}{3}$;-$\large \frac{13}{3}$);
b) m = $\large \frac{1}{3}$ hoặc m = 1;
c) m $\small \neq$ $\large \frac{1}{3}$, m $\small \neq$ 1; M($\large \frac{-7}{5}$;$\large \frac{-91}{5}$).
Bài 9.
a) a = -2; b) a = 2; c) a = 0.
Bài 10.
a) b = -13; b) b = -3; c) b = 3.
Bài 11.
a) (d): y = $\large \frac{3}{2}$x + 3;
b) (d): y = -5x - 7;
c) (d): y = 4x + 2.
Bài 12.
a) a = -4; b) a = $\large \frac{-5}{16}$;
c) a = -10,8.
Bài 13.
a) Đồng biến khi m > 2, nghịch biến khi m < 2;
b) m = 5;
c) m = $\large \frac{5}{3}$; d) m = $\large \frac{3}{4}$;
e) m = 0; g) m = 0.
Bài 14.
a) y = 8x - 5;
b) y = -2x - 10;
c) y = -x + 7.
Bài 15.
a) m $\small \neq$ 3; b) m = 3;
c) m = $\large \frac{1}{2}$ hoặc m = 1; d) m $\small \in$ Ø.
Bài 16.
a) $d_{1}$ // $d_{2}$; b) $d_{2}$ $\small \perp$ $d_{3}$.
Bài 17.
a) m = -$\large \frac{3}{2}$; b) m = -1.
Bài 18.
a) A($\large \frac{1}{2}$;1); b) B(0;-3);
c) C(-$\large \frac{1}{2}$;$\large \frac{1}{2}$); d) D(-2;0).
Bài 19.
a) $d_{1}$ $\small \perp$ $d_{2}$; b) m = -$\large \frac{1}{2}$ hoặc m = 0.
Bài 20.
a) y = 2x + $\sqrt{3}$; b) y = $\large \frac{3}{2}$x - $\large \frac{5}{2}$;
c) y = $\large \frac{-1}{3}$x + $\large \frac{-1}{3}$.
Bài 21.
a) I(1;3);
b) i) m = -1;
ii) m = 1;
iii) m = -2.