VẤN ĐỀ 7. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN II)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Nhắc lại lý thuyết:
Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2. Theo định nghĩa tiếp tuyến.
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 2. Tính độ dài
Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của (O) bằng 15 cm và dây AB = 24 cm. Tính độ dài đoạn thẳng OC.
Bài 2. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 3. Cho đườngtròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\small \widehat{CAB}$ = 30°. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O);
b) $\small MC^{2}$ = 3$\small R^{2}$.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, AB = 8 cm, AC = 15 cm. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E.
a) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Tính độ dài HE.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho đường tròn (O; 6cm) và điểm A trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8 cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) tại C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O).
Bài 6. Cho đường tròn (O; 5cm), đường kính AB, tiếp tuyến Bx với đường tròn. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho $\small \widehat{CAB}$ = 30°, tia AC cắt tia Bx tại E.
a) Chứng minh $\small BC^{2}$ = AC.CE.
b) Tính độ dài đoạn BE.
Bài 7. Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 2a. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, nó cắt OA và OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích tam giác MON.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
a) $\small \Delta$OAC = $\small \Delta$OBC (c.g.c)
⇒ $\small \widehat{OBC}$ = $\small \widehat{OAB}$ = 90° ⇒ đpcm;
b) OC = 25 cm.
Bài 2.
a) OA vuông góc với BC tại M
⇒ M là trung điểm BC
⇒ OCAB là hình thoi;
b) OE = 2R.
Bài 3.
a) OCB là tam giác đều nên BC = BO = BM = R
⇒ $\small \widehat{OCM}$ = 90°
⇒ MC là tiếp tuyến của (O; R);
b) $\small OM^{2}$ = $\small OC^{2}$ + $\small MC^{2}$
⇒ $\small MC^{2}$ = $\small OM^{2}$ - $\small OC^{2}$ = 3$\small R^{2}$.
Bài 4.
a) Gọi O là trung điểm CD. Từ giả thiết suy ra tam giác ABD và tam giác ODE đều
⇒ DE = DH = DO = $\large \frac{BC}{4}$
⇒ $\small \widehat{HEO}$ = 90°
⇒ HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD;
b) HE = 4$\sqrt{3}$ cm.
Bài 5.
a) OB = 10 cm;
b) $\small \Delta$OBC = $\small \Delta$OBA (c.g.c)
⇒ BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 6.
a) $\small \Delta$ABE vuông tại B, đường cao BC
⇒ $\small BC^{2}$ = AC.CE;
b) BE = $\large \frac{10\sqrt{3}}{3}$.
Bài 7.
$S_{OMN}$ = $\large \frac{1}{2}$OC.MN = $\large \frac{aR}{\sqrt{R^{2}-a^{2}}}$.