VẤN ĐỀ 5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y = ax + b (a ≠ 0)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b (a ≠ 0). Khi đó:
• Số thực a là hệ số góc của d.
• Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia Ox và d. Ta có:
+ Nếu $\alpha$ < 90° thì a > 0 và a = tan $\alpha$;
+ Nếu $\alpha$ > 90° thì a < 0 và a = -tan(180° - $\alpha$).
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định hệ số góc của đường thẳng
Phương pháp giải: Đường thẳng d có phương trình y = ax + b (a ≠ 0). có a là hệ số góc.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Đường thẳng y = (m - 1)x + 4 đi qua điểm A(-2;1) có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Bài 2. Tính hệ số góc của đường thẳng d: y = (2m - 4)x + 5, biết nó song song với đường thẳng d': 2x - y - 3 = 0. Vẽ đường thẳng d tìm được.
Bài 3. Tìm hệ số góc của đường thẳng d biết:
a) d đi qua gốc tọa độ O và đi qua điểm A(1;3).
b) d đi qua hai điểm M(4;5), N(1;-1).
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 4. Đường thẳng y = 2(m + 1)x - 5m - 8 đi qua điểm A(3;-5) có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Bài 5. Tìm hệ số góc của đường thẳng d: y = (3 - m)x + 2, biết nó vuông góc với đường thẳng d': x - 2y - 6 = 0. Vẽ đường thẳng d tìm được.
Bài 6. Tìm hệ số góc của đường thẳng d biết:
a) d đi qua gốc tọa độ O và đi qua điểm I($\large \frac{2}{3}$;-3).
b) d đi qua giao điểm A của hai đường thẳng y = -x + 3, y = 2x và đi qua điểm E(-1;3).
Dạng 2. Xác định góc tạo với tia Ox và đường thẳng d
Phương pháp giải: Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia Ox và d. Khi đó:
+ Nếu $\alpha$ < 90° thì a > 0 và a = tan $\alpha$;
+ Nếu $\alpha$ > 90° thì a < 0 và a = -tan(180° - $\alpha$).
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 7. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = 2x + 1.
Bài 8. Cho đường thẳng d: y = mx + 3. Tính góc tạo bởi tia Ox và d biết d đi qua điểm A(-$\sqrt{3}$;0).
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 9. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = 4x - $\sqrt{5}$.
Bài 10. Cho đường thẳng d: y = mx + $\sqrt{3}$. Tính góc tạo bởi tia Ox và d biết d đi qua điểm A(-3;0).
Dạng 3. Xác định phương trình đường thẳng dựa vào hệ số góc
Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b.
Ta cần xác định a và b dựa vào các kiến thức về góc và hệ số góc trong phần Tóm tắt lý thuyết ở trên.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 11. Xác định phương trình đường thẳng d biết rằng:
a) d đi qua điểm A(-3;4) và có hệ số góc bằng -5;
b) d đi qua điểm B(-1;2) và tạo với trục Ox một góc bằng 45°.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 12. Xác định phương trình đường thẳng d biết rằng:
a) d đi qua điểm M(3;-1) và tạo với trục Ox một góc bằng 30°;
b) d đi qua điểm N(0;3) và tạo với đường thẳng y = 1 một góc 60°.
Bài 13. Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d tạo với trục Ox một góc 45° và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $\sqrt{2}$;
b) d tạo với trục Ox một góc 60° và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 14. Tìm hệ số góc của đường thẳng d biết d đi qua gốc tọa độ O và:
a) Đi qua điểm M(3$\sqrt{3}$; -$\sqrt{3}$);
b) Vuông góc với đường thẳng y = -$\sqrt{2}$x + 1.
Bài 15. Chứng tỏ rằng phương trình đường thẳng đi qua M($x_{0}$;$y_{0}$) và có hệ số góc k cho trước là y = k(x - $x_{0}$) + $y_{0}$.
Bài 16. Cho hai đường thẳng $d_{1}$: y = x + 5, $d_{2}$: y = -$\sqrt{3}$x + 3.
a) Vẽ $d_{1}$, $d_{2}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Gọi giao điểm của $d_{1}$, $d_{2}$ là A, giao điểm của $d_{1}$, $d_{2}$ với trục Ox lần lượt là B, C. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Bài 17. Vẽ đồ thị các hàm số: y = x - 1; y = $\large \frac{1}{\sqrt{2}}$x + $\sqrt{2}$ và y = $\sqrt{2}$x - $\sqrt{2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ. Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi các đường thẳng trên với tia Ox. Chứng minh:
tan $\alpha$ = 1, tan $\beta$ = $\large \frac{1}{\sqrt{2}}$, tan $\gamma$ = $\sqrt{2}$
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
Hệ số góc $\large \frac{3}{2}$.
Bài 2.
Hệ số góc 2.
Bài 3.
a) Hệ số góc 3; b) Hệ số góc 2.
Bài 4.
Hệ số góc 2.
Bài 5.
Hệ số góc -2.
Bài 6.
a) -$\large \frac{9}{2}$; b) $\large \frac{-1}{2}$.
Bài 7.
0° < $\alpha$ < 90° và tan $\alpha$ = 2.
Bài 8.
$\alpha$ = 60°.
Bài 9.
0° < $\alpha$ < 90° và tan $\alpha$ = 4.
Bài 10.
$\alpha$ = 30°.
Bài 11.
a) y = -5x - 11; b) y = x + 3.
Bài 12.
a) y = $\large \frac{\sqrt{3}}{3}$x - 1 - $\sqrt{3}$;
b) y = $\sqrt{3}$x + $\sqrt{3}$.
Bài 13.
a) y = x + $\sqrt{2}$; b) y = $\sqrt{3}$x + $\sqrt{3}$.
Bài 14.
a) $\large \frac{-1}{3}$; b) $\large \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Bài 15.
Học sinh tự làm.
Bài 16.
a) Học sinh tự vẽ;
b) 45°, 120°, 15°.
Bài 17.
Học sinh tự làm.