VẤN ĐỀ 7. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN II)
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
.png)
• Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Ta có:
b = a.sin B = a.cos C;
c = a.sin C = a.cos B;
b = c.tan B = c. cot C;
c = b. tan C = b. cot B.
• Trong một tam giác vuông
Cạnh góc vuông = (cạnh huyền) x (sin góc đối) = (cạnh huyền) x (cos góc kề)
Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông) x (tan góc đối) = (cạnh góc vuông còn lại) x (cot góc kề)
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 3. Toán ứng dụng thực tế
Phương pháp giải: Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để giải quyết tình huống trong thực tế.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cột đèn.
Bài 2. Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28° và có độ cao là 2,1 cm. Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 3. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 50°. Tính chiều cao của cột đèn.
Bài 4. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính góc $\small \widehat{BCA}$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.
Dạng 4. Toán tổng hợp
Phương pháp giải: Vận dụng linh hoạt một số hệ thức giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông để giải toán.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC > AB. Đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh AD.AB = AE.AC và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED.
b) Cho biết BH = 2 cm, HC = 4,5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng DE.
c) Tính số đo góc $\small \widehat{ABC}$ (làm tròn đến độ).
d) Tính diện tích tam giác ADE.
* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:
Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thằng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.
a) Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.
b) Chứng minh $\small \widehat{BEG}$ = 90°.
c) Cho biết BH = h, $\small \widehat{BAC}$ = $\alpha$. Tính $S_{ABCD}$ theo h và $\alpha$.
d) Tính độ dài đường chéo AC theo h và $\alpha$.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = 21 cm, $\small \widehat{C}$ = 40°. Tính độ dài đường phân giác BD của góc $\small \widehat{ABC}$, D nằm trên cạnh AC.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông ở A, $\small \widehat{C}$ = 30°, BC = 10 cm.
a) Tính AB, AC.
b) Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN song song với BC và 2MN = BC.
c) Chứng minh tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC. Tìm tỉ số đồng dạng.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC > AB, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh AD.AB = AE.AC và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED.
b) Cho biết BH = 2 cm, HC = 4,5 cm. Tính:
i) Độ dài đoạn thẳng DE;
ii) Số đo $\small \widehat{ABC}$ (làm tròn đến độ);
iii) Diện tích tam giác ADE.
Bài 10. Chứng minh:
a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy,
b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
Chiều cao ≈ 6,75m.
Bài 2.
.png)
Bài 3.
Chiều cao = 5. tan 50° ≈ 5,96 m.
Bài 4.
$\small \widehat{BCA}$ ≈ 59°44'.
Bài 5.
a) AE.AC = $\small AH^{2}$ = AD.AB
⇒ $\small \Delta$ABC ~ $\small \Delta$AED (c-g-c);
b) DE = 3cm.
c) $\small \widehat{ABC}$ = 56°; d) $S_{ADE}$ = $\large \frac{54}{13}$$\small cm^{2}$.
Bài 6.
a) Vì EF = CG = $\large \frac{1}{2}$AB; EF // CG // AB;
b) CF $\small \perp$ BE mà EG // CF
⇒ EG $\small \perp$ BE ⇒ $\small \widehat{BEG}$ = 90°.
.png)
.png)
Bài 7.
.png)
Bài 8.
a) AB = 5cm; AC = 5$\sqrt{3}$cm;
b) AMBN là hình chữ nhật
⇒ $\small \widehat{CBM}$ = $\small \widehat{ABM}$ = $\small \widehat{NMB}$
⇒ MN // BC (so le trong)
AMBN là hình chữ nhật
⇒ MN = AB = $\large \frac{1}{2}$BC.
c) $\small \widehat{CBM}$ = $\small \widehat{ABM}$ = $\large \frac{1}{2}$$\small \widehat{ABC}$ = 30° = $\small \widehat{ACB}$
⇒ $\small \Delta$MAB ~ $\small \Delta$ABC (g-g)
Tỉ số đồng dạng: $\large \frac{AB}{BC}$ = $\large \frac{1}{2}$.
Bài 9.
Tương tự Bài 5.
Bài 10.
a) Giả sử tam giác ABC có $\small \widehat{A}$ < 90°, kẻ đường cao BH.
Ta có: BH = AB.sin $\small \widehat{A}$
⇒ $S_{ABC}$ = $\large \frac{1}{2}$BH.AC
⇒ $S_{ABC}$ = $\large \frac{1}{2}$AB.AC.sin$\small \widehat{A}$
b) ABCD là hình bình hành có $\small \widehat{A}$ < 90°, $\small \Delta$ABD = $\small \Delta$CBD
⇒ $S_{ABCD}$ = 2$S_{ABD}$ = AB.AD.sin$\small \widehat{A}$