ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số:
• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số.
• Hàm số thường được cho bằng bảng hoặc bằng công thức.
• Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ Oxy được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
• Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị x $\small \in$ D với $x_{1}$, $x_{2}$ bất kì thuộc D:
+ Nếu $x_{1}$ < $x_{2}$ mà f($x_{1}$) < f($x_{2}$) thì hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu $x_{1}$ < $x_{2}$ mà f($x_{1}$) > f($x_{2}$) thì hàm số nghịch biến trên D.
2. Hàm số bậc nhất:
• Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a $\small \neq$ 0.
• Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x $\small \in$ R và:
+ Đồng biến trên R khi a > 0.
+ Nghịch biến trên R khi a < 0.
• Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b(a $\small \neq$ 0) là một đường thẳng và a là hệ số góc của đường thẳng.
• Cho hai đường thẳng $d_{1}$: y = $a_{1}$x + $b_{1}$ ($a_{1}$ ≠ 0) và $d_{2}$: y = $a_{2}$x + $b_{2}$ ($a_{2}$ ≠ 0).
Ta có:
.png)
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp giải: Ta thường gặp các bài toán về viết phương trình đường thẳng sau đây:
Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.
Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước.
Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước.
Bài toán 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1. Xác định hằng số a, b của đường thẳng y = ax + b biết:
a) d song song với đường thẳng d: y = 3x + 1 và đi qua A (2; 5).
b) d vuông góc với đường thẳng y = x - 5 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng -2.
c) d đi qua hai điểm A(-1;2), B(2;-3).
Bài 2. Cho hai đường thẳng $d_{1}$: y = -4x + m + 1, $d_{2}$: y = $\large \frac{4}{3}$x + 15 - 3m.
a) Tìm giá trị của m để $d_{1}$ cắt $d_{2}$ tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm giao điểm A, B của $d_{1}$, $d_{2}$ với Ox.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 3. Tìm m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = 2x - 1 cắt nhau tại một điểm nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 4. Cho ba điểm A(1;-1), B(2;1), C(-3;1). Chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng AC.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 5. Trong hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(2;5), B(-1;-1), C(4;9).
a) Viết phương trình đường thẳng BC.
b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 6. Cho hàm số y = ($m^{2}$ - 3)x + 2 có đồ thị là đường thẳng d.
a) Vẽ d khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số đồng biển; nghịch biến.
c) Tìm m để d đi qua A(1;2).
d) Tìm m để d đi qua B(1;8).
Bài 7. Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 1 có đồ thị d. Tìm m để:
a) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
b) d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3.
c) d tạo với trục hoành một góc 45°.
Bài 8. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(-2;1) và M với M nằm trên đường thẳng d': 2x + y = 3 và M có hoành độ bằng $\large \frac{1}{2}$.
Dạng 2. Tìm điểm cố định của đường thẳng
Phương pháp giải: Để tìm điểm cố định của đường thẳng y = ax + b phụ thuộc tham số ta làm như sau:
- Gọi tọa độ điểm cố định là M($x_{0}$;$y_{0}$);
- Tìm điều kiện để đẳng thức $y_{0}$ = a$x_{0}$ + b luôn đúng khi tham số thay đổi.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:
Bài 9. (Thi vào lớp 10 chọn, trường THPT Phan Đình Phùng, Hà Nội, 1995)
Chứng minh đường thẳng d: y = 2(m + 1)x - m - 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi tham số m.
* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:
Bài 10. (Thi vào lớp 10, Thành phố Hồ Chí Minh, 2005)
Cho đường thẳng d: y = mx + 1. Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định với mọi tham số m.
Dạng 3. Ba đường thẳng đồng quy
Phương pháp giải: Để tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm của hai trong ba đường và tìm điều kiện để giao điểm này thuộc đường thứ ba.
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:
Bài 11. (Thi vào lớp 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành, 2007)
Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng $d_{1}$: y = x + 1, $d_{2}$: y = 5x - 3, $d_{3}$: y = mx + 4 cùng đi qua một điểm.
* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:
Bài 12. Cho các hàm số: y = x + 3; y = -x + 1; y = $\sqrt{3}$x - m - 2 . Tìm m để các đồ thị hàm số trên là các đường thẳng đồng quy.
Dạng 4. Bài toán liên quan đến diện tích
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 13. Cho đường thẳng có phương trình y = (m - 1)x + 2m. Tìm m để đường thẳng trên cắt hai trục tọa độ và tạo với hai trục một tam giác có diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích).
Bài 14. Cho ba hàm số y = x + 2; y = -x - 2; y = -2x + 2 có đồ thị lần lượt là $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$.
a) Vẽ đồ thị của ba hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Cho biết $d_{1}$ $\small \cap$ $d_{2}$ tại A, $d_{1}$ $\small \cap$ $d_{3}$ tại B, $d_{3}$ $\small \cap$ $d_{2}$ tại C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 15. Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3 có đồ thị là đường thẳng d.
a) Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của tham số m.
b) Tìm m để d cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.
Bài 16. Cho đường thẳng d: y = (2m + 1)x - 2 với m $\small \neq$ -$\large \frac{1}{2}$. Giả sử d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng $\large \frac{1}{2}$.
Dạng 5. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d
Phương pháp giải: Để tìm khoảng cách từ điểm gốc tọa độ O đến đường thẳng d: y = ax + b với a ≠ 0, b ≠ 0 ta làm như sau:
Bước 1. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt là giao điểm của d với trục hoành và trục tung của hệ trục tọa độ Oxy.
Bước 2. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến d. Khi đó:
.png)
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 17. Cho đường thẳng d có phương trình y = mx + 2.
a) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng 1.
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d lớn nhất.
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:
Bài 18. (Thi vào lớp 10, Thành phố Hà Nội, 2008)
Cho đường thẳng d có phương trình y = (m - 1)x + 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 19. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.
Bài 20. Cho ba điểm A(0;2); B(-3;-1); C(2;4)
a) Xác định hệ số a, b biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b qua A, B.
b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 21. Xác định phương trình đường thẳng d biết rằng nó song song với đường thẳng d' có phương trình y = -x + 1 và đi qua điểm M(2;1).
Bài 22. Cho các đường thẳng:
d: y = (m - 2)x + 3 với m $\small \neq$ 2 và d': y = -$m^{2}$x + 1 với m $\small \neq$ 0.
a) Tìm m để d và d' song song với nhau.
b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B mà $\small \widehat{OAB}$ = 60°.
Bài 23. (Thi vào lớp 10, THPT Nguyễn Tất Thành, 2010)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho điểm M(-1;1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Bài 24. Chứng minh khi m thay đổi thì các đường thẳng có phương trình y = (m + 1)x - 3m + 4 luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 25. Tìm điều kiện của tham số m để các đường thẳng có phương trình y + 2x - 1 = 0; y = x + 7 và y = (m - 1)x - m + 3 đồng quy.
Bài 26. Cho hai đường thẳng $d_{1}$: y = 2x + 4, $d_{2}$: y = -$\large \frac{1}{2}$x + 1. Cho biết $d_{1}$ cắt Ox tại A, $d_{2}$ cắt Ox tại C, $d_{1}$ cắt $d_{2}$ tại M.
a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M.
b) Tính diện tích tam giác MAC.
Bài 27. Cho hàm số y = ($m^{2}$ - 2m + 2)x + 4 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm m sao cho d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B mà diện tích tam giác OAB lớn nhất.
Bài 28. Cho đường thẳng d: 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2.
a) Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là lớn nhất.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1.
a) a = 3, b = -1; b) a = -1, b = -2; c) a = -$\large \frac{5}{3}$, b = $\large \frac{1}{3}$.
Bài 2.
a) m = $\large \frac{7}{2}$;
b) A ($\large \frac{9}{8}$;0), B(-$\large \frac{27}{8}$;0);
c) 
d) $\widehat{ABC}$ $\small \approx$ 53,13°, $\widehat{BCA}$ $\small \approx$ 50,91°, $\widehat{BAC}$ $\small \approx$ 75,96°.
Bài 3.
m = -4
Bài 4.
Cách 1: Viết phương trình các đường thẳng AB, AC và chứng tỏ chúng vuông góc.
Cách 2: Tính khoảng cách các đoạn thẳng AB, BC, AC và sử dụng định lý đảo Pitago đảo.
Bài 5.
a) y = 2x + 1; b) A thuộc đường thẳng BC.
Bài 6.
a) Học sinh tự vẽ;
b) Đồng biến khi m < -$\sqrt{3}$ hoặc m > $\sqrt{3}$, nghịch biến khi $\small \mid$m$\small \mid$ < $\sqrt{3}$;
c) m = ±$\sqrt{3}$; d) m = ±3.
Bài 7.
a) m = 1; b) m = 2; c) {-1;0;2}.
Bài 8.
y = $\large \frac{2}{5}$x + $\large \frac{9}{5}$.
Bài 9.
($\large \frac{1}{2}$;0)
Bài 10.
(0;1).
Bài 11.
m = -2.
Bài 12.
m = -4 - $\sqrt{3}$.
Bài 13.
m = -1 hoặc m = $\large \frac{1}{2}$.
Bài 14.
a) Học sinh tự vẽ;
b) A(-2;0), B(0;2), C(4;-6); c) $S_{ABC}$ = 12.
Bài 15.
a) M(-1;5); b) m = -5 ± 2$\sqrt{6}$.
Bài 16.
m = -$\large \frac{5}{2}$ hoặc m = $\large \frac{3}{2}$.
Bài 17.
a) m = ±$\sqrt{3}$; b) m = 0.
Bài 18.
m = 1
Bài 19.
y = $\large \frac{3}{2}$x + 3.
Bài 20.
a) a = 1, b = 2; b) A $\small \in$ BC.
Bài 21.
y = -x + 3.
Bài 22.
a) m = -2 hoặc m = 1;
b) m = 2 ± $\sqrt{3}$.
Bài 23.
y = x + 2.
Chú ý: OM là phân giác góc phần tư thứ II. Do đó đường thẳng qua M và tạo với Ox, Oy một tam giác vuông cân khi và chỉ khi đường thẳng đó vuông góc với OM.
Bài 24.
M(3;7).
Bài 25.
m = 0.
Bài 26.
a) Do $d_{1}$ $\small \perp$ $d_{2}$, nên $\Delta$MAC vuông tại M;
b) $S_{MAC}$ = $\large \frac{16}{5}$.
Bài 27.
.png)
Bài 28.
a) M(1;-2); b) m = $\large \frac{6}{5}$.