ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA (PHẦN II)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem lại Tóm tắt lý thuyết trong Ôn tập Chủ đề 1, Phần I

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 4. Tìm các giá trị nguyên của biến để các biểu thức cho trước có giá trị nguyên

Bài 1. Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

Dạng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Dạng 6. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Bài 6. Cho các biểu thức

với 0 ≤ x $\small \neq$ 9.

a) Tính giá trị của B khi x = 36;

b) Rút gọn A;

c) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên.

Bài 7. Cho biểu thức:

a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị của x để P = -1;

c) Tìm x $\small \in$ Z để P $\small \in$ Z;

d) So sánh P với 1;

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 8. Cho biểu thức

với x ≥ 0 và x $\small \neq$ 1.

a) Rút gọn E;

b) Tìm giá trị của x để E > 1;

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của E với x > 1;

d) Tìm x $\small \in$ Z để E $\small \in$ Z;

e) Tìm x để E = $\large \frac{9}{2}$.

Bài 9. Cho biểu thức

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P khi x = 7 - 4$\sqrt{3}$;

c) Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị lớn nhất.

Bài 10. Cho biểu thức

a) Rút gọn B;

b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2$\sqrt{5}$;

c) Tìm x nguyên để B nguyên.

Bài 11. Cho biểu thức

với x ≥ 0 và x $\small \neq$ 1.

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của x khi P = 4;

c) Tính giá trị nhỏ nhất của P;

d) Tính P khi x = 3 - 2$\sqrt{2}$.

Bài 12. Cho biểu thức

a) Rút gọn P;

b) Tính P khi x = 6 - 2$\sqrt{5}$;

c) Tìm giá trị của x để P = $\large \frac{1}{\sqrt{x}}$;

d) Tìm x $\small \in$ Z để P $\small \in$ Z;

e) Tìm x để P < 1 - $\sqrt{x}$;

g) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 13. Cho biểu thức:

a) Rút gọn P;

b) Tìm x để P = -1;

c) Tính P tại

d) Tìm x để P > $\sqrt{x}$ + 2;

e) So sánh P với 1;

g) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 14. Cho các biểu thức

a) Tính giá trị B tại x = 36;

b) Rút gọn A;

c) Cho biết P = A : (1 - B). Tìm x để P ≤ 1.

Bài 15. Cho biểu thức

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P biết x = $\large \frac{2}{2+\sqrt{3}}$;

c) Tìm x thỏa mãn: P$\sqrt{x}$ = 6$\sqrt{x}$ - 3 - $\sqrt{x-4}$.

Bài 16. Cho biểu thức

a) Rút gọn P;

b) Cho Tìm giá trị lớn nhất của P.

Một số bài tập nâng cao

Bài 17. Giải phương trình:

Bài 18. Cho a, b > 0; $a^{2}$ + $b^{2}$ ≤ 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 19. Cho a, b, c > $\large \frac{25}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 20. Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh:

Bài 21. Cho hai số thực a, b thay đổi, thỏa mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 22. Cho x, y thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $x^{2}$ + 2xy - 2$y^{2}$ + 2y + 10.

Bài 23. Với mọi a > 1, chứng minh:

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) x $\small \in$ {1;4;16;25};

b) x $\small \in$ {0;4;16;36;144}.

Bài 2.

a) x = 0; b) x $\small \in$ {4;16;100}.

Bài 3.

a) $A_{min}$ = - 2 khi x = 4;

b) $B_{min}$ = - 6 khi x = 4;

c) $C_{min}$ = -$\large \frac{1}{4}$ khi x = $\large \frac{1}{4}$;

d) $D_{min}$ = $\sqrt{3}$ + 1 khi x = 1.

Bài 4.

a) $E_{min}$ = -$\large \frac{1}{3}$ khi x = 0;

b) $F_{min}$ = 2$\sqrt{2}$ - 2 khi x = 1.

Bài 5.

a) $M_{max}$ = $\sqrt{3}$ khi x = 1;

b) $N_{max}$ = 8 khi x = 9;

c) $P_{max}$ = $\large \frac{4}{3}$ khi x = $\large \frac{1}{4}$;

d) $Q_{max}$ = $\large \frac{5}{3}$ khi x = 0.

Bài 6.

a) B = $\large \frac{3}{7}$;

b)

c) x = 0 hoặc x = 4.

Bài 7.

a)

b) x = 0;

c) x = 0; d) P < 1; e) $P_{max}$ = -1 khi x = 0.

Bài 8.

a)

b) x > 1;

c) $E_{min}$ = 9 khi x = 4;

d) x $\small \in$ {4;0;9}; e) Vô nghiệm.

Bài 9.

a) P = -$\sqrt{x}$($\sqrt{x}$ - 1);

b) P = 3$\sqrt{3}$ - 5;

c) $P_{max}$ = $\large \frac{1}{4}$ khi x = $\large \frac{1}{4}$.

Bài 10.

a)

b)

c) x = 1.

Bài 11.

a)

b) x = 4

c) $P_{min}$ = 4 khi x = 4;

d)

Bài 12.

d) x = 0, x = 4;

e) 0 ≤ x < $\sqrt{3}$ - 1;

g) $P_{min}$ = 1 khi x = 0.

Bài 13.

b) Vô nghiệm; c) P = $\large \frac{5}{2}$;

d) 0 < x < 1; e) P > 1;

f) Không có GTNN.

Bài 14.

a) B = $\large \frac{38}{43}$;

c) 0 ≤ x < 1 hoặc x ≥ 9.

Bài 15.

c) x = 4.

Bài 16.

b) $P_{max}$ = 9 khi x = y = $\large \frac{1}{9}$.

Bài 17.

a) x = 3; y = -2008; z = 2011.

Bài 18.

Ta có $M_{max}$ = 20736 khi a = b = 2$\sqrt{2}$.

Bài 19.

Đặt 2$\sqrt{a}$ - 5 = x, 2$\sqrt{b}$ - 5 = y, 2$\sqrt{c}$ - 5 = z.

Biến đổi P theo x, y, z, ta được:

$P_{min}$ = $\large \frac{33}{4}$ khi a = b = c = 25.

Bài 20.

Ta có:

Áp dụng tương tự với và

Bài 21.

$A_{min}$ = $\large \frac{3}{2}$ khi a = b = $\large \frac{1}{2}$.

Bài 22.

$A_{min}$ = 9 khi x = y = -1.

Bài 23.

Ta có VT = (a - 1) + $\large \frac{1}{a-1}$ + 1.