Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn (phần II)

VẤN ĐỀ 2. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN (PHẦN II)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Đường tròn

Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R > 0) là đường tròn tâm O có bán kính R. Ký hiệu: (O) hoặc (O;R)

2. Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O;R)

3. Định lý (về sự xác định một đường tròn)

- Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

- Đường tròn đi qua ba đình của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

4. Tính chất đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng. Tâm đối xứng là tâm đường tròn, trục đối xứng là bất kì đường kính nào.

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 2. Xác định vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Phương pháp giải: Muốn xác định vị trí của điểm M đối với đường tròn (O; R) ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R theo bảng sau:

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:

Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của các điểm A(-1;-1), B(-1;-2),

C($\sqrt{2}$;$\sqrt{2}$) đối với đường tròn tâm O bán kính 2.

* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:

Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC.

a) Chứng minh bốn điểm B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm O;

b) Gọi G là giao điểm của BM và CN. Chứng minh điểm G nằm trong còn điểm A nằm ngoài đối với đường tròn đường kính BC.

Dạng 3. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác và số đo các góc liên quan

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.

- Dùng định lý Pitago.

- Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông...

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 2 cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 6. Cho góc $\small \widehat{xAy}$ = 45° và điểm B nằm trên tia Ax sao cho AB = 3 cm.

a) Dựng đường tròn (O) đi qua A và B sao cho tâm O nằm trên tia Ay.

b) Tính bán kính đường tròn (O).

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 7. Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc $\small \widehat{CBD}$, $\small \widehat{CBO}$, $\small \widehat{OBA}$;

c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 8. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm CM và DN.

a) Tính số đo góc $\small \widehat{CEN}$;

b) Chứng minh: A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn;

c) Xác định tâm của đường tròn đi qua ba điểm B, D, E.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

OA = $\sqrt{2}$ < 2 ⇒ Điểm A(-1;-1) nằm trong đường tròn(O;2);

OB = $\sqrt{5}$ > 2 ⇒ Điểm B(-1;-2) nằm ngoài đường tròn (O;2);

OC = 2 = R ⇒ điểm C($\sqrt{2}$;$\sqrt{2}$) nằm trên đường tròn (O;2).

Bài 2.

a) $\small \widehat{BNC}$ = 90° ⇒ ON = OB = OC ⇒ N $\small \in$ (O;$\large \frac{BC}{2}$),

$\small \widehat{BMC}$ = 90° ⇒ OM = OB = OC ⇒ M $\small \in$ (O;$\large \frac{BC}{2}$)

⇒ B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm O;

b) $\small \Delta$ABC đều có G là trực tâm đồng thời là trọng tâm. $\small \Delta$AOB vuông tại O có R = ON = $\large \frac{a}{2}$.

⇒ A nằm ngoài (O).

⇒ G nằm trong (O).

Bài 3.

Áp dụng Định lí Pitago cho tam giác vuông ABC, ta có:

BC = 13 cm ⇒ R = 6,5 cm.

Bài 4.

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:

OA = OB = OC = OD

⇒ A, B, C, D cùng thuộc (O; R = 6,5cm).

Bài 5.

Gọi O là giao 3 đường trung trực của $\small \Delta$ABC. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\small \Delta$ABC. Gọi H là giao điểm của AO và BC. Ta có:

Bài 6.

a) Dựng đường thẳng d là trung trực của AB, d cắt tia Ay tại O. Dựng (O;OA) là đường tròn cần dựng;

* Chứng minh:

Vì O $\small \in$ d nên OA = OB, do đó (O;OA) đi qua hai điểm A, B.

Mà O $\small \in$ Ay nên đường tròn (O) thỏa mãn đề bài.

b) $\large \frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.

Bài 7.

a) OB = OC = BD = CD = R

⇒ OBDC là hình thoi;

b) $\small \widehat{CBO}$ = $\small \widehat{CBD}$ = $\small \widehat{ABO}$ = 30°;

c) $\small \Delta$ABC có AO vừa là đường cao, vừa là đường trung trực nên $\small \Delta$ABC cân tại A có $\small \widehat{ABC}$ = 60°

⇒ $\small \Delta$ABC đều.

Bài 8.

a) Chứng minh $\small \Delta$CMB = $\small \Delta$DNC

⇒ $\small \widehat{NCE}$ = $\small \widehat{CDN}$

Mà $\small \widehat{CDN}$ + $\small \widehat{DNC}$ = 90°

⇒ $\small \widehat{DNC}$ + $\small \widehat{NCE}$ = 90°

⇒ $\small \widehat{CEN}$ = 90°;

b) A, D, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính DM;

c) Gọi I là trung điểm của CD, chứng minh AI song song với MC

⇒ $\small \Delta$ADE cân tại A

⇒ B, E, D cùng thuộc (A;AB).