VẤN ĐỀ 5. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN II)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Cho góc nhọn $\alpha$ (0° < $\alpha$ < 90°). Dựng tam giác ABC vuông tại A sao cho $\alpha$ = $\small \widehat{ABC}$. Từ đó ta có:

• Với góc nhọn $\alpha$ bất kỳ, ta luôn có:

0 < sin $\alpha$ < 1; 0 < cos $\alpha$ < 1.

• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

• Bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 2. Sắp thứ tự dãy các tỉ số lượng giác

Phương pháp giải: Để sắp thứ tự dãy các tỉ số lượng giác cho trước, ta cần làm được hai bước sau:

Bước 1. Đưa về các tỉ số lượng giác trong bài toán cùng loại bằng cách sử dụng tính chất: “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia”.

Bước 2. Với hai góc nhọn $\alpha$, $\beta$, ta có:

sin $\alpha$ < sin $\beta$ ⇔ $\alpha$ < $\beta$;

cos $\alpha$ < cos $\beta$ ⇔ $\alpha$ > $\beta$;

tan $\alpha$ < tan $\beta$ ⇔ $\alpha$ < $\beta$;

cot $\alpha$ < cot $\beta$ ⇔ $\alpha$ > $\beta$.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) sin 20° và sin 70°; b) cos 60° và cos 70°;

c) tan 73°20′ và tan 45°; d) cot 20° và cot 37°40′.

Bài 2. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé:

a) tan 42°, cot 71°, tan 38°, cot 69°15', tan 28°;

b) sin 32°, cos 51°, sin 39°, cos 79°13', sin 38°.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 3. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) sin 40° và sin 70°; b) cos 80° và cos 50°;

c) tan 73°20′ và tan 65°;

d) cot 53° và cot 37°40′.

Bài 4. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

a) tan 12°, cot 61°, tan 28°, cot 79°15', tan 58°;

b) cos 67°, sin 56°, cos 63°41′, sin 74°, cos 85°.

Dạng 3. Dựng góc nhọn $\alpha$ biết tỉ số lượng giác của nó là $\large \frac{m}{n}$

Phương pháp giải: Dựng một tam giác vuông có hai cạnh là m và n trong đó m và n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc vuông và một cạnh huyền rồi vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận ra góc $\alpha$.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:

Bài 5. Dựng góc nhọn $\alpha$ biết rằng:

a) sin $\alpha$ = $\large \frac{3}{5}$; b) cos $\alpha$ = $\large \frac{4}{7}$;

c) tan $\alpha$ = $\large \frac{3}{2}$; d) cot $\alpha$ = $\large \frac{5}{6}$.

* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:

Bài 6. Dựng góc nhọn $\alpha$ biết rằng:

a) sin $\alpha$ = $\large \frac{2}{3}$; b) cos $\alpha$ = $\large \frac{2}{5}$; c) tan $\alpha$ = $\large \frac{3}{2}$; d) cot $\alpha$ = $\large \frac{4}{5}$.

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 30 cm, $\widehat{B}$ = $\alpha$, tan $\alpha$ = $\large \frac{5}{12}$. Tính cạnh BC, AC.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính sin B, sin C biết rằng:

a) AB = 13 và BH = 5; b) BH = 3 và CH = 4.

Bài 9. Dựng góc nhọn $\alpha$ biết:

a) sin $\alpha$ = $\large \frac{1}{2}$; b) cos $\alpha$ = $\large \frac{2}{3}$; c) tan $\alpha$ = $\large \frac{4}{5}$; d) cot $\alpha$ = $\large \frac{3}{4}$.

Bài 10. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

a) sin 35°, cos 28°, sin 34°72', cos 62°, sin 45°;

b) cos 37°, cos 65°30', sin 72°, cos 59°, sin 47°.

Bài 11. Tính giá trị biểu thức:

a) A = $cos^{2}$ 52° sin 45° + $sin^{2}$ 52° cos 45°;

b) B = sin45° $cos^{2}$ 47° + $sin^{2}$ 47° cos 45°.

Bài 12. Tìm cos $\alpha$, tan $\alpha$, cot $\alpha$ biết sin $\alpha$ = $\large \frac{1}{5}$.

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông ở A, $\widehat{C}$ = 30°, BC = 10 cm.

a) Tính độ dài các cạnh AB và AC.

b) Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN song song với BC và MN = BC.

c) Chứng minh tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC. Tìm tỉ số đồng dạng.

Bài 14. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính:

a) A = $cos^{2}$ 20° + $cos^{2}$ 30° + $cos^{2}$ 40° + $cos^{2}$ 50° + $cos^{2}$ 60° + $cos^{2}$ 70°.

b) B = $sin^{2}$ 5° + $sin^{2}$ 25° + $sin^{2}$ 45° + $sin^{2}$ 65° + $sin^{2}$ 85°.

Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, $\widehat{C}$ = $\alpha$ < 45°, đường trung tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC = a. Chứng minh:

a) sin 2$\alpha$ = 2sin$\alpha$cos$\alpha$;

b) 1 + cos2$\alpha$ = 2$cos^{2}$$\alpha$;

c) 1 - cos2$\alpha$ = 2$sin^{2}$$\alpha$.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) sin 20° < sin 70°;

b) cos 60° > cos 70°;

c) tan 73°20′ > tan 45°;

d) cot 20° > cot 37° 40'.

Bài 2.

a) cot 71° (= tan 19°) < cot 69°15' (= tan 20°85') < tan 28° < tan 38° < tan 42°;

b) cos 79°13' = sin 10°87' < sin 32° < sin 38° < cos 51° = sin 39°.

Bài 3.

a) sin 40° < sin 70°; b) cos 80° < cos 50°;

c) tan 73°20' > tan 65°; d) cot 53° < cot 37°40'.

Bài 4.

a) cot 79°15' = tan 10°85' < tan 12° < tan 28°< cot 61° (= tan 29°) < tan 58°;

b) cos 85° < cos 67° (= sin 23°) < cos 63°41' (= sin 26°59') < sin 56° < sin 74°.

Bài 5.

Dựng một tam giác vuông có:

a) Độ dài cạnh góc vuông là 3, cạnh huyền là 5, góc đối diện với cạnh góc vuông đó là góc $\alpha$;

b) Độ dài cạnh góc vuông là 4, cạnh huyền là 7, góc giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền đó là góc $\alpha$;

c) Độ dài hai cạnh góc vuông là 3 và 2, góc đối diện với cạnh góc vuông độ dài 3 là góc $\alpha$;

d) Độ dài hai cạnh góc vuông là 5 và 6, góc đối diện với cạnh góc vuông độ dài 6 là góc $\alpha$.

Bài 6.

Dựng một tam giác vuông có:

a) Độ dài cạnh góc vuông là 2, cạnh huyền là 3, góc đối diện với cạnh góc vuông đó là góc $\alpha$;

b) Độ dài cạnh góc vuông là 2, cạnh huyền là 5, góc giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền đó là góc $\alpha$;

c) Độ dài hai cạnh góc vuông là 3 và 2, góc đối diện với cạnh góc vuông độ dài 3 là góc $\alpha$;

d) Độ dài hai cạnh góc vuông là 4 và 5, góc đối diện với cạnh góc vuông độ dài 5 là góc $\alpha$.

Bài 7.

BC = 32,5cm; AC = 12,5cm.

Bài 8.

a) sin B = $\large \frac{12}{13}$; sin C = $\large \frac{5}{13}$;

b) sin B = $\large \frac{2}{\sqrt{7}}$; sin C = $\large \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Bài 9.

Dựng một tam giác vuông có:

a) Độ dài cạnh góc vuông là 1, cạnh huyền là 2, góc đối diện với cạnh góc vuông đó là góc $\alpha$;

b) Độ dài cạnh góc vuông là 2, cạnh huyền là 3, góc giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền đó là góc $\alpha$;

c) Độ dài hai cạnh góc vuông là 4 và 5, góc đối diện với cạnh góc vuông độ dài 4 là góc $\alpha$;

d) Độ dài hai cạnh góc vuông là 3 và 4, góc đối diện với cạnh góc vuông độ dài 4 là góc $\alpha$.

Bài 10.

a) cos 62° (= sin 28° ) < sin 34° < sin 35° < sin 45° < cos 28° (= sin 62°);

b) cos 65°30' (= sin 24°70') < cos 59° (= sin 31°) < sin 47° < cos 37° (= sin 53°) < sin 72°.

Bài 11.

a) A = $\large \frac{1}{\sqrt{2}}$; b) B = $\large \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Bài 12.

cos $\alpha$ = $\large \frac{2\sqrt{6}}{5}$, tan $\alpha$ = $\large \frac{1}{2\sqrt{6}}$, cot $\alpha$ = 2$\sqrt{6}$.

Bài 13.

Tương tự Bài 14, Vấn đề 4.

Bài 14.

a) A = 3; b) B = 2,5.

Bài 15.

Góc 2$\alpha$ là góc $\widehat{AMH}$