VẤN ĐỀ 3. LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Nhắc lại lý thuyết: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

• $AB^{2}$ = BH.BC hay $c^{2}$ = ac'

• $AC^{2}$ = CH.BC hay $b^{2}$ = ab'

• AB. AC = BC. AH hay cb = ah

• $HA^{2}$ = HB.HC hay $h^{2}$ = c'b'

•

• $BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ (Định lí Pitago)

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 4 cm, CH = 9 cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng minh MN = $\large \frac{1}{2}$BC.

c) Tính diện tích của tứ giác DENM.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh:

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Cho biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC.

b) Cho biết AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và AC.

Bài 4. Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông nếu đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài 48 cm và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền theo tỉ lệ 9 : 16.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH. Biết BD = 15 cm, CD = 20cm. Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HC.

Bài 6. Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy AB = 26 cm và cạnh bên AD = 10 cm. Cho biết đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Tính diện tích của hình thang ABCD.

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Nếu BH = 2cm, CH = 8cm.Tính độ dài các đoạn AB, AC, BC, AH.

b) Nếu AH = 5cm, CH = 16cm. Tính độ dài các đoạn AB, AC, BC, BH.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB : AC = 3 : 4 và AH = 12 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH. Cho biết BD = 15 cm, CD = 20 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng HB và HC.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính chu vi của tam giác ABC biết rằng AH = 14 cm, $\large \frac{HB}{HC}$ = $\large \frac{1}{4}$.

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng AH = 12 cm, BH = 9 cm.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CK.

a) Cho biết AB = 10 cm, AC = 8 cm. Tính BC, CK, BK và AK.

b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K trên BC và AC. Chứng minh CB.CH = CA.CI.

c) Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ K xuống IH. Chứng minh:

d) Chứng minh

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) DE = 6cm;

b) Chứng minh M là trung điểm BH, N là trung điểm CH;

c) S = 19,5$cm^{2}$.

Bài 2.

Bài 3.

a) BH = 3,6cm; CH = 6cm; AH = 4,8cm; BC = 10cm.

b) BH = 3,6cm; CH = 6,4cm; AH = 4,8cm; AC = 8cm.

Bài 4.

Cạnh huyền: 100 cm; Các cạnh góc vuông: 60cm và 80 cm.

Bài 5.

HB = 22,4cm; HC = 12,6cm.

Bài 6.

Bài 7.

a) AB = 4cm; AH = 2$\sqrt{5}$cm; AC = 4$\sqrt{5}$cm; BC = 10cm.

b)

Bài 8.

BH = 9cm; CH = 16cm.

Bài 9.

Tương tự Bài 3.

Bài 10.

P = 35 + 21$\sqrt{5}$ ≈ 81,95(cm).

Bài 11.

S = 150$cm^{2}$.

Bài 12.

a) BC = 6cm; CK = 4,8cm; BK = 3,6cm; AK = 6,4cm.

b) CB.CH = $CK^{2}$ = CA.CI