VẤN ĐỀ 6. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN I)

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Ta có:

b = a.sin B = a.cos C;

c = a.sin C = a.cos B;

b = c.tan B = c.cot C;

c = b.tan C = b.cot B.

• Trong một tam giác vuông:

Cạnh góc vuông = (cạnh huyền) x (sin góc đối) = (cạnh huyền) x (cos góc kề)

Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông) x (tan góc đối) = (cạnh góc vuông còn lại) x (cot góc kề)

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Giải tam giác vuông

Phương pháp giải:

1. Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.

2. Để giải tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông và sử dụng máy tính cầm tay hoặc bảng lượng giác để tính các yếu tố còn lại.

3. Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm:

i) Giải tam giác vuông khi biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn.

ii) Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết rằng:

a) b = 10 cm; $\widehat{C}$ = 30°;

b) a = 20cm, $\widehat{B}$ = 35°.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết rằng:

a) a = 15cm; b = 10cm;

b) b = 12cm; c = 7cm.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết rằng:

a) b = 28cm; c = 21cm;

b) a = 10cm; b = 6cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết rằng:

a) c = 3,8cm; $\widehat{B}$ = 51°;

b) a = 11cm; $\widehat{C}$ = 60°.

Dạng 2. Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp giải: Làm xuất hiện tam giác giác vuông để áp dụng các hệ thức trên bằng cách kẻ thêm đường cao.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 5. Cho tam giác ABC có BC = 11cm, $\widehat{ABC}$ = 38° và $\widehat{ACB}$ = 30°. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính:

a) Độ dài đoạn thẳng AN;

b) Độ dài đoạn thẳng AC.

Bài 6. Cho tam giác ABC, có BC = 6cm, $\widehat{B}$ = 60°; $\widehat{C}$ = 40°. Hãy tính:

a) Chiều cao CH và cạnh AC;

b) Diện tích tam giác ABC.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 7. Cho tam giác ABC có $\widehat{B}$ = 60°, $\widehat{C}$ = 50°, AC = 3,5cm . Tính diện tích tam giác ABC (làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 8. Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC = 4 cm, BD = 5 cm, $\widehat{AOB}$ = 50°. Tính diện tích tứ giác ABCD.

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC biết rằng:

a) b = 5,4cm, $\widehat{C}$ = 30°;

b) c = 10cm; $\widehat{C}$ = 45°.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC biết rằng:

a) a = 15 cm, b = 10 cm;

b) b = 12 cm, c = 7 cm.

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại B. Giải tam giác ABC biết rằng:

a) $\widehat{A}$ = 40°, AC = 8;

b) $\widehat{C}$ = 28°, AB = 5;

c) AB = 8, BC = 15.

Bài 12. Cho tam giác ABC có $\widehat{B}$ = 60°, $\widehat{C}$ = 50°, AC = 35 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 13. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}$ = $\widehat{D}$ = 90°, $\widehat{C}$ = 40°, AB = 4 cm, AD = 3 cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao là AH; HB = 9 cm, HC = 16 cm.

a) Tính AB, AC, AH.

b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Tứ giác ADHE là hình gì?

c) Tính chu vi và diện tích của tứ giác ADHE.

Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm.

a) Giải tam giác vuông ABC (số đo góc làm tròn đến độ).

b) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt đường thẳng AC tại D.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AD, BD.

d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên BC và BD. Chứng minh: BF.BD = BE.BC.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) a = $\large \frac{20\sqrt{3}}{3}$; c = $\large \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

b) b = 20. sin 35° ≈ 11,48;

c = 20.cos 35° ≈ 16,38.

Bài 2.

a) c = $\sqrt{115}$; sin B = $\large \frac{10}{15}$ ⇒ $\widehat{B}$ ≈ 41,8° ⇒ $\widehat{C}$ ≈ 48,2°.

b) a = $\sqrt{193}$; tan B = $\large \frac{12}{7}$ ⇒ $\widehat{B}$ ≈ 59,7° ⇒ $\widehat{C}$ ≈ 30,3°.

Bài 3.

a) a = 35; $\widehat{B}$ ≈ 53,1°; $\widehat{C}$ ≈ 36,9°;

b) c = 8; $\widehat{B}$ ≈ 41,8°; $\widehat{C}$ ≈ 48,2°.

Bài 4.

a) b ≈ 2,95; a ≈ 4,69; $\widehat{C}$ = 49°;

b) c ≈ 9,53; b = 5,5; $\widehat{B}$ = 30°.

Bài 5.

AN ≈ 3,65cm; AC ≈ 7,3cm.

Bài 6.

a) CH = 3$\sqrt{3}$cm;

AC = 3$\sqrt{3}$ : sin 80° ≈ 5,28cm

b) S = $\large \frac{1}{2}$.3$\sqrt{3}$.6,92 ≈ 17,98$cm^{2}$.

Bài 7.

S ≈ 5,09$cm^{2}$.

Bài 8.

S = 7,66$cm^{2}$.

Bài 9.

a) c ≈ 3,12; a ≈ 6,24; $\widehat{B}$ = 60°;

b) a = 10$\sqrt{2}$.

Bài 10.

a) c = $\sqrt{115}$; sin B = $\large \frac{10}{15}$ ⇒ $\widehat{B}$ ≈ 41,8° ⇒ $\widehat{C}$ ≈ 48,2°;

b) a = $\sqrt{193}$; tan B = $\large \frac{12}{7}$ ⇒ $\widehat{B}$ ≈ 59,7° ⇒ $\widehat{C}$ ≈ 30,3°.

Bài 11.

a) a ≈ 5,14cm; b ≈ 6,13cm; $\widehat{C}$ = 50°;

b) $\widehat{A}$ = 62°; a ≈ 9,4cm; b ≈ 10,65cm;

c) b = 17cm; $\widehat{A}$ = 61,93°; $\widehat{C}$ = 28,07°.

Bài 12.

S ≈ 509,08 $cm^{2}$.

Bài 13.

Bài 14.

a) AB = 15cm; AC = 20cm;

BC = 25cm; AH = 12cm;

b) ADHE là hình chữ nhật;

c) S = 69,12$cm^{2}$; P = 33,6cm.

Bài 15.

a) AC = 4cm; $\widehat{B}$ = 53,13°; $\widehat{C}$ = 36,87°;

b) AD = 2,25cm; BD = 3,75cm;

c) BF.BD = $BA^{2}$ = BE.BC