VẤN ĐỀ 7. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng linh hoạt thích hợp các phép biến đổi đơn giản như: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn...

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp giải:

Bước 1. Vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết làm xuất hiện căn thức cùng loại.

Bước 2. Cộng, trừ các căn thức bậc hai cùng loại.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp giải: Thực hiện các phép biến đổi căn thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chứng minh.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:

Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:

* Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp:

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau:

Dạng 3. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Phương pháp giải:

1. Để rút gọn biểu thức ta thực hiện các phép biến đổi căn thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ.

2. Các bài toán liên quan thường gặp là:

- Tính giá trị của biểu thức với giá trị của biến cho trước

- Giải phương trình hoặc bất phương trình chứa căn bậc hai.

- Tìm giá trị nguyên của biểu thức.

- So sánh biểu thức với một số.

- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau:

Bài 7. Cho biểu thức

a) Rút gọn M;

b) Tính giá trị của M khi x = 11 - 6$\sqrt{2}$;

c) Tìm các giá trị thực của x để M = 2;

d) Tìm các giá trị thực của x để M < 1;

e) Tìm các giá trị x nguyên để M nguyên.

* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp:

Bài 8. Với x > 0, cho các biểu thức

a) Tính giá trị của A khi x = 4;

b) Tìm các giá trị thực của x để B = $\large \frac{1}{3}$;

c) So sánh B với 1;

d) Đặt P = A : B. Tìm x thỏa mãn:

Bài 9. Cho biểu thức

với x ≥ 0; x $\small \neq$ 1;

a) Rút gọn P;

b) Tìm x để P < $\large \frac{1}{2}$;

c) Tìm giá trị của x để P = $\large \frac{1}{3}$;

d) Tìm x nguyên để P nguyên;

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

C. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 12. Cho biểu thức

a) Rút gọn Q;

b) Tính giá trị của Q khi x = 4 + 2$\sqrt{3}$;

c) Tìm các giá trị của x để Q = 3;

d) Tìm các giá trị của x để Q > $\large \frac{1}{2}$;

e) Tìm x $\small \in$ Z để Q $\small \in$ Z.

Bài 13. Cho biểu thức

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P biết

c) Tìm x thỏa mãn:

Bài 14. Cho biểu thức

a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x thỏa mãn P < 0;

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 15. Cho biểu thức:

a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P;

c) Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Bài 16. Cho các biểu thức

với x ≥ 0, x $\small \neq$ 9 và x $\small \neq$ 25.

a) Rút gọn các biểu thức A và B;

b) Đặt P = A : B. So sánh P với 1;

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1.

a) 8$\sqrt{2}$; b) $\large \frac{9\sqrt{2}}{2}$; c) $\sqrt{3}$; d) 5.

Bài 2.

a) 6$\sqrt{a}$ + $\sqrt{5}$; b) 2$\sqrt{a}$.

Bài 3.

a) $\large \frac{7\sqrt{3}}{6}$; b) 22; c) 2; d) 10.

Bài 4.

a) $\large \frac{1}{3}$; b) 12$\sqrt{a}$ - a$\sqrt{a}$.

Bài 5.

a) Học sinh tự làm.

Bài 6.

Bài 7.

b) M = 1 - 2$\sqrt{2}$; c) x = 49;

d) 0 ≤ x < 9; x $\small \neq$ 4;

e) x $\small \in$ {1; 16; 25; 49}.

Bài 8.

a) A = $\large \frac{7}{6}$; b) x = 4; c) B < 1; d) x = 5.

Bài 9.

a)

b) 0 ≤ x < 9 và x $\small \neq$ 1; c) x = 4; d) x = 0;

e) $P_{min}$ = -1 khi x = 0.

Bài 10.

a) 17$\sqrt{3}$; b) 6; c) 5; d) $\sqrt{6}$ - 3.

Bài 11.

a) -$\large \frac{15\sqrt{7}}{7}$; b) 4; c) $\large \frac{1}{2}$; d) 0.

Bài 12.

c) x = 4; d) x > 1; e) {0; 4; 9}.

Bài 13.

c) x = 4.

Bài 14.

b) 0 ≤ x < 1;

c) $P_{min}$ = -$\large \frac{1}{2}$ khi x = 0.

Bài 15.

a) P = x - $\sqrt{x}$ + 1;

b) $P_{min}$ = $\large \frac{3}{4}$ khi x = 0;

Bài 16.

b) P < 1; c) $P_{min}$ = $\large \frac{-5}{3}$ khi x = 0.