BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

44. Chứng minh rằng: với mọi số nguyên n $\geq$ 2.

Giải

Với n = 2 ta có:

Vậy (1) đúng với n = 2.

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có :

Khi đó ta có :

Điều đó chứng tỏ (1) cũng đúng khi n = k + 1

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n $\geq$ 2.

45. Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi $u_{1}$ = 2 và với mọi n $\geq$ 2.

Chứng minh rằng : với mọi số nguyên dương n.

Giải

Với n = 1, theo giả thiết ta có Như vậy (1) đúng khi n = 1.

Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*.

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số ($u_{n}$) ta có:

nghĩa là (1) cũng đúng khi n = k + 1

Vậy (1) đúng với mọi n $\in$ N*.

46. Cho các dãy số ($u_{n}$) và ($v_{n}$) với

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ($a_{n}$) với $a_{n}$ = $u_{n}$ + $v_{n}$

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ($b_{n}$) với $b_{n}$ = $u_{n}$ - $v_{n}$.

c) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ($c_{n}$) với $c_{n}$ = $u_{n}$.$v_{n}$.

d) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ($d_{n}$) với

Chú ý : Các dãy số ($a_{n}$), ($b_{n}$), ($c_{n}$) và ($d_{n}$) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi

Giải

a) Ta có :

47. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = 8n + 3;

b) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = $n^{2}$ + n + 1;

c) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = 3.$8^{n}$;

d) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = (n + 2).$3^{n}$.

Giải

a) Ta có $u_{n+1}$ - $u_{n}$ = 8(n + 1) + 3 - (8n + 3) = 8, $\forall n\geq 1$

Suy ra ($u_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = 8.

b) Ta có không là hằng số. Vậy ($u_{n}$) không là cấp số cộng.

không là hằng số nên ($u_{n}$) không là cấp số nhân.

Do đó ($u_{n}$) là cấp số nhân với công bội q = 8.

d)

không là hằng số nên ($u_{n}$) không là cấp số cộng.

không là hằng số nên ($u_{n}$) không là cấp số nhân.

48. Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

a) Dãy số ($u_{n}$) xác định bởi: $u_{1}$ = 3 và $u_{n+1}$ = $u_{n}$ + 5 với mọi n $\geq$ 1, là một cấp số cộng.

b) Dãy số ($u_{n}$) xác định bởi : $u_{1}$ = 3 và $u_{n+1}$ = $u_{n}$ + n với mọi n $\geq$ 1, là một cấp số cộng.

c) Dãy số ($u_{n}$) xác định bởi : $u_{1}$ = 4 và $u_{n+1}$ = 5$u_{n}$ với mọi n $\geq$ 1, là một cấp số nhân.

d) Dãy số ($u_{n}$) xác định bởi : $u_{1}$ = 1 và $u_{n+1}$ = n$u_{n}$ với mọi n $\geq$ 1, là một cấp số nhân.

Giải

a) Đúng vì $u_{n+1}$ - $u_{n}$ = 5, $\forall n\geq 1$.

b) Sai vì $u_{n+1}$ - $u_{n}$ = n không là hằng số.

c) Đúng vì là hằng số.

d) Sai vì không là hằng số.

49. Cho dãy hình vuông $H_{1}$, $H_{2}$,..., $H_{n}$ với mỗi số nguyên dương n, gọi $u_{n}$, $p_{n}$ và $S_{n}$ lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích hình vuông $H_{n}$

a) Giả sử dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số ($p_{n}$) và ($S_{n}$) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

b) Giả sử dãy số ($u_{n}$) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số ($p_{n}$) và ($S_{n}$) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Giải

Theo giả thiết ta có:

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng ($u_{n}$), d $\neq$ 0. Khi đó với mọi n $\in$ N*, ta có:

(không đổi)

Vậy ($p_{n}$) là cấp số cộng.

không là hằng số (do d $\neq$ 0)

Vậy ($S_{n}$) không là cấp số cộng.

b) Gọi q là công bội của cấp số nhân ($u_{n}$), q > 0. Khi đó với mọi n $\in$ N*, ta có :

Từ đó suy ra các dãy số ($p_{n}$) và ($S_{n}$) là cấp số nhân.

50. Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi $u_{1}$ = 3 và với mọi n $\geq$ 1.

Chứng minh rằng ($u_{n}$) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Giải

Ta chứng minh $u_{n}$ = 3 (1) với mọi n bằng qui nạp

Với n = 1 ta có $u_{1}$ = 3 : (1) đúng

Giả sử $u_{k}$ = 3 ta chứng minh $u_{k+1}$ = 3

Thật vậy ta có

Vậy $u_{n}$ = 3, $\forall n\geq 1$ do đó ($u_{n}$) vừa là cấp số cộng công sai d = 0 vừa là cấp số nhân công bội q = 1.

51. Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết :

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó

- Ở cơ sở B:Giá của mét khoản đầu tiên là 6000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu là $u_{n}$ và $v_{n}$ tương ứng là giá của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

a) Hãy tính $u_{2}$, $u_{3}$, $v_{2}$, $v_{3}$

b) Chứng minh rằng dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng và dãy số ($v_{n}$) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c) Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn ở cơ sở nào, chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau ?

d) Cũng câu hỏi như phần c), với giả thiết độ sâu của giếng cần khoan là 25 mét.

Giải

a) $u_{2}$ = $u_{1}$ + 500 = 8000 + 500 = 8500;

$u_{3}$ = $u_{2}$ + 500 = 8500 + 500 = 9000

$v_{2}$ = $v_{1}$ + $v_{1}$ . 0,07 = $v_{1}$(1 + 0,07) = $v_{1}$ . 1,07 = 6000 . 1,07 = 6420;

$v_{3}$ = $v_{2}$ + $v_{2}$.0,07 = $v_{2}$(1 + 0,07) = $v_{2}$. 1,07

= 6420 . 1,07 = 6869,4

b) Theo giả thiết của bài toán, ta có:

$u_{1}$ = 8000 và $u_{n+1}$ = $u_{n}$ + 500 với mọi n $\geq$ 1 (1)

$v_{1}$ = 6000 và $v_{n+1}$ = $v_{n}$ + $v_{n}$ . 0,07

= $v_{n}$(1 + 0,07) = $v_{n}$ . 1,07 với mọi n $\geq$ 1 (2)

Từ (1) suy ra ($u_{n}$) là một cấp số cộng với công sai d = 500 và số hạng đầu $u_{1}$ = 8000.

Số hạng tổng quát : $u_{n}$ = 8000 + (n - 1).500 = 7500 + 500n.

Từ (2) suy ra ($v_{n}$) là một cấp số nhân với công bội q = 1,07 và số hạng đầu $v_{1}$ = 6000.

Số hạng tổng quát : $v_{n}$ = 6000 . $(1,07)^{n-1}$

c) Kí hiệu $A_{20}$ và $B_{20}$ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B. Từ kết quả phần b) ta có :

$A_{20}$ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng ($u_{n}$). Do đó :

$B_{20}$ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân ($v_{n}$). Do đó :

Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thuê cơ sở B.

d) Kí hiệu $A_{25}$ và $B_{25}$ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.

Bằng cách tương tự như ở phần c) ta tính được $A_{25}$ = 350000 và $B_{25}$ = 379494,22629...

Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.