§2. HOÁN VỊ CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA

1. Hoán vị:

Cho tập hợp A có n (n $\geq$ 1) phần tử. Khi sắp xếp phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A)

Định lí 1:

Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là :

$P_{n}$ = n! = n(n - 1)(n - 2)...2.1

2. Chỉnh hợp:

a) Cho tập hợp A gồm n phần tử là số nguyên k mới 1 $\leq$ k $\leq$ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).

b) Định lí 2: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 $\leq$ k $\leq$ n) là :

$A_{n}^{k}$ = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) = $\large \frac{n!}{(n-k)!}$

Quy ước : 0! = 1 và $A_{n}^{0}$ = 1

3. Tổ hợp :

a) Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 $\leq$ k $\leq$ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).

b) Định lí 3: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 $\leq$ k $\leq$ n) là :

4. Hai tính chất cơ bản của số $C_{n}^{k}$:

a) Tính chất 1:

Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 $\leq$ k $\leq$ n

Khi đó $C_{n}^{k}$ = $C_{n}^{n-k}$

b) Tính chất 2 (hằng đẳng thức Pa-xcan):

Cho các số nguyên n và k với 1 $\leq$ k $\leq$ n.

Khi đó : $C_{n+1}^{k}$ = $C_{n}^{k}$ + $C_{n}^{k-1}$