§8. HÀM SỐ LIÊN TỤC

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA

1. Hàm số liên tục tại một điểm:

Định nghĩa :

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và $x_{0}$ $\in$ (a; b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm $x_{0}$ nếu :

Hàm số không liên tục tại điểm $x_{0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm $x_{0}$

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

Định nghĩa :

a) Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

b) Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và :

Định lí 1:

Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Tính chất của hàm số liên tục:

Định lý 2: (Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) $\neq$ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b) tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho f(c) = M.

Ý nghĩa hình học của định lý:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đô thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c $\in$ (a; b).

* Hệ quả:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Ý nghĩa hình học của hệ quả;

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c $\in$ (a; b).