Chương 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§1. PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

B. TÓM TẮT GIÁO KHOA

Phép chứng minh bằng qui nạp gồm hai bước sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 1

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k $\geq$ 1 (giả thiết này được gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Chú ý : Nếu phải chứng minh rằng mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n $\geq$ p (p là một số tự nhiên đúng với n = p, ở bước 2), ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k $\geq$ p và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Trường hợp thường gặp nhất là n = 1

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :

Giải

Với n = 1 ta có (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có :

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh :

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.

2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

Giải

Với n = 1 ta có (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có :

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh :

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n $\in$ N*

3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức :

Giải

Với n = 1 ta có 1 < $2\sqrt{1}$. Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh :

Theo giả thiết qui nạp ta có :

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

Thật vậy ta có :

Vậy ta có (*) tức (1) đúng với n = k + 1, do đó (1) đúng với mọi n $\in$ N*

4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n $\geq$ 2, ta luôn có đẳng thức sau :

Giải

Với n = 2 ta có (đúng). Vậy (1) đúng với n = 2

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh :

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n $\geq$ 2

5. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :

Giải

Với n = 2 ta có :

Như vậy (1) đúng khi n = 2

Giả sử (1) đúng khi n = k, k > 1, tức là giả sử

ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh

Thật vậy, ta có :

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n > 1.

6. Với mọi số nguyên dương n, đặt Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có $u_{n}$ chia hết cho 5.

Giải

Với n = 1, ta có :

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1

Thật vậy, ta có :

Vì $u_{k}$ $\vdots$ 5 (theo giả thiết qui nạp), nên từ (2) ta được điều cần chứng minh.

7. Cho số thực x > - 1. Chứng minh rằng $(1+x)^{n}$ $\geq$ 1+ nx (1) với mọi số nguyên dương n.

Giải

Với n = 1, ta có $(1+x)^{1}$ = 1 + x = 1 + 1.x

Như vậy, ta có (1) đúng khi n = 1

Giả sử đã có (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.

Thật vậy, từ giả thiết x > -1 và giả thiết qui nạp, ta có :

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n $\in$ N*.

8. Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với k là số nguyên dương tùy ý, nếu $8^{k}$ + 1 chia hết cho 7 thì $8^{k+1}$ + 1 cũng chia hết cho 7" như sau :

Ta có : $8^{k+1}$ + 1 = 8($8^{k}$ + 1) – 7. Từ đây và giả thiết "$8^{k}$ + 1 chia hết cho 7", hiển nhiên suy ra $8^{k+1}$ + 1 chia hết cho 7".

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được "$8^{n}$ + 1 chia hết cho 7 với mọi n $\in$ N*" hay không ? Vì sao ?

Giải

Không thể kết luận "$8^{n}$ + 1 chia hết cho 7 với mọi n $\in$ N*", vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi n = 1.

C. BÀI TẬP LÀM THÊM

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ N* ta có :