Hàm số liên tục (phương pháp giải bài tập)

§8. HÀM SỐ LIÊN TỤC

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

a) Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm:

- Tính f($x_{0}$) và Nếu thì f liên tục tại $x_{0}$

- Nếu hàm số có giá trị tuyệt đối hoặc là hàm số "lắp ghép" ta sử dụng liên tục một bên.

• Tính

Nếu thì f liên tục tại $x_{0}$

b) Tìm các điểm gián đoạn của hàm số :

Ta tìm $x_{0}$ sao cho :

• f không xác định tại $x_{0}$ hoặc

• f xác định tại $x_{0}$ nhưng không tồn tại

• f xác định tại $x_{0}$ tồn tại nhưng

46. Chứng minh rằng :

a) Các hàm số liên tục tại mọi điểm x $\in$ R.

b) Hàm số liên tục tại điểm x = 2.

c) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Giải

a) Hàm số f(x) = $x^{3}$ − x + 3 xác định trên R. Với mọi $x_{0}$ $\in$ R, ta có :

Vậy f liên tục tại điểm $x_{0}$. Do đó hàm số f liên tục tại mọi điểm của R.

Chứng minh tương tự, hàm số g liên tục tại mọi điểm của R.

b) Với mọi x $\neq$ 2, ta có :

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x = 2

e) Với mọi x $\neq$ 1, ta có :

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1

47. Chứng minh rằng :

a) Hàm số liên tục trên R;

b) Hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1);

c) Hàm số liên tục trên đoạn [-2; 2];

d) Hàm số liên tục trên nửa khoảng

Giải

a) Hàm số xác định trên R. Với mọi $x_{0}$ $\in$ R ta có :

Vậy f liên tục tại $x_{0}$ nên f liên tục trên R.

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

1 - $x^{2}$ > 0 ⇔ -1 < x < 1

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1; 1)

Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-1; 1), ta có :

Vậy hàm số f liên tục tại điểm $x_{0}$. Do đó f liên tục trên khoảng (-1; 1)

c) Hàm số xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-2; 2), ta có:

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2). Ngoài ra, ta có :

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2; 2]

d) Hàm số xác định trên nửa khoảng

nên hàm số liên tục trên khoảng

Mặt khác ta có

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng

48. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó :

Giải

a) Tập xác định của hàm số f là Hàm phân thức hữu tỉ f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng và

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

Do đó tập xác định của hàm số f là (- $\infty$; 1]

Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-$\infty$; 1), ta có :

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1). Ngoài ra

Do đó hàm số f liên tục trên (-$\infty$; 1].

49. Chứng minh rằng phương trình : $x^{2}$cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; $\pi$)

Giải

Hàm số f(x) = $x^{2}$cosx + xsinx + 1 liên tục trên đoạn [0; $\pi$], f(0) = 1 > 0, f($\pi$) = 1 - $\pi ^{2}$ < 0.

Vì f(0). f(1) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c $\in$ (0; $\pi$) sao cho f(c) = 0. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.

50. Chứng minh rằng :

a) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0.

Mỗi hàm số liên tục trên tập xác định của nó

Giải

a) Ta có

Suy ra hàm số f gián đoạn tại x = 0

b) Tập xác định của hàm số là [3; +$\infty$).

Với $x_{0}$ > 3 ta có

nên g liên tục (3; +$\infty$), ngoài ra :

Vậy g liên tục trên [3; +$\infty$)

* Tập xác định của hàm số

Rõ ràng h liên tục trên (-$\infty$; 1) và trên (1; +$\infty$) tại $x_{0}$ = 1 ta có :

Vậy h liên tục trên R.

51. Giải thích vì sao :

a) Hàm số liên tục trên R;

b) Hàm số liên tục trên R;

c) Hàm số liên tục tại mọi điểm x $\neq$ $k\pi$, k $\in$ Z.

Giải

a) Với mọi x $\in$ R, ta có :

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do do:

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm $x_{0}$ $\in$ R. Do đó hàm số f liên tục trên R.

b) Tập xác định của g là R

Với mọi $x_{0}$ $\in$ R ta có :

Do đó

Vậy hàm số g liên tục tại mọi $x_{0}$ $\in$ R. Do đó g liên tục trên R.

Vậy hàm số h liên tục tại mọi $x_{0}$ $\in$ R. Do đó h liên tục trên R.

52. Chứng minh rằng hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Giải

Tập xác định D = R \ {2}

Với mọi $x_{0}$ $\neq$ 2, ta có :

suy ra f liên tục tại mọi $x_{0}$ $\neq$ 2 nên f liên tục trên tập xác định.

53. Chứng minh rằng phương trình $x^{3}$ + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn - 1.

Giải

Hàm số f(x) = $x^{3}$ + x + 1 liên tục trên đoạn [-1; 0] có f(-1) = -1 và f(0) = 1. Vì f(-1)f(0) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm âm lớn hơn - 1 của phương trình đã cho.

54. Cho hàm số :