§8. HÀM SỐ LIÊN TỤC

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

a) Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm:

- Tính f($x_{0}$) và Nếu thì f liên tục tại $x_{0}$

- Nếu hàm số có giá trị tuyệt đối hoặc là hàm số "lắp ghép" ta sử dụng liên tục một bên.

• Tính

Nếu thì f liên tục tại $x_{0}$

b) Tìm các điểm gián đoạn của hàm số :

Ta tìm $x_{0}$ sao cho :

• f không xác định tại $x_{0}$ hoặc

• f xác định tại $x_{0}$ nhưng không tồn tại

• f xác định tại $x_{0}$ tồn tại nhưng

46. Chứng minh rằng :

a) Các hàm số liên tục tại mọi điểm x $\in$ R.

b) Hàm số liên tục tại điểm x = 2.

c) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Giải

a) Hàm số f(x) = $x^{3}$ − x + 3 xác định trên R. Với mọi $x_{0}$ $\in$ R, ta có :

Vậy f liên tục tại điểm $x_{0}$. Do đó hàm số f liên tục tại mọi điểm của R.

Chứng minh tương tự, hàm số g liên tục tại mọi điểm của R.

b) Với mọi x $\neq$ 2, ta có :

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x = 2

e) Với mọi x $\neq$ 1, ta có :

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1

47. Chứng minh rằng :

a) Hàm số liên tục trên R;

b) Hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1);

c) Hàm số liên tục trên đoạn [-2; 2];

d) Hàm số liên tục trên nửa khoảng

Giải

a) Hàm số xác định trên R. Với mọi $x_{0}$ $\in$ R ta có :

Vậy f liên tục tại $x_{0}$ nên f liên tục trên R.

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

1 - $x^{2}$ > 0 ⇔ -1 < x < 1

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1; 1)

Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-1; 1), ta có :

Vậy hàm số f liên tục tại điểm $x_{0}$. Do đó f liên tục trên khoảng (-1; 1)

c) Hàm số xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-2; 2), ta có:

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2). Ngoài ra, ta có :

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2; 2]

d) Hàm số xác định trên nửa khoảng

nên hàm số liên tục trên khoảng

Mặt khác ta có

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng

48. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó :

Giải

a) Tập xác định của hàm số f là Hàm phân thức hữu tỉ f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

Do đó tập xác định của hàm số f là (- $\infty$; 1]

Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-$\infty$; 1), ta có :

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1). Ngoài ra

Do đó hàm số f liên tục trên (-$\infty$; 1].

49. Chứng minh rằng phương trình : $x^{2}$cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; $\pi$)

Giải

Hàm số f(x) = $x^{2}$cosx + xsinx + 1 liên tục trên đoạn [0; $\pi$], f(0) = 1 > 0, f($\pi$) = 1 - $\pi ^{2}$ < 0.

Vì f(0). f(1) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c $\in$ (0; $\pi$) sao cho f(c) = 0. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.

50. Chứng minh rằng :

a) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0.

b)

Mỗi hàm số liên tục trên tập xác định của nó

Giải

a) Ta có

Suy ra hàm số f gián đoạn tại x = 0

b) Tập xác định của hàm số là [3; +$\infty$).

Với $x_{0}$ > 3 ta có

nên g liên tục (3; +$\infty$), ngoài ra :

Vậy g liên tục trên [3; +$\infty$)

* Tập xác định của hàm số

Rõ ràng h liên tục trên (-$\infty$; 1) và trên (1; +$\infty$) tại $x_{0}$ = 1 ta có :

Vậy h liên tục trên R.

51. Giải thích vì sao :

a) Hàm số liên tục trên R;

b) Hàm số liên tục trên R;

c) Hàm số liên tục tại mọi điểm x $\neq$ $k\pi$, k $\in$ Z.

Giải

a) Với mọi x $\in$ R, ta có :

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do do:

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm $x_{0}$ $\in$ R. Do đó hàm số f liên tục trên R.

b) Tập xác định của g là R

Với mọi $x_{0}$ $\in$ R ta có :

Do đó

Vậy hàm số g liên tục tại mọi $x_{0}$ $\in$ R. Do đó g liên tục trên R.

Vậy hàm số h liên tục tại mọi $x_{0}$ $\in$ R. Do đó h liên tục trên R.

52. Chứng minh rằng hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Giải

Tập xác định D = R \ {2}

Với mọi $x_{0}$ $\neq$ 2, ta có :

suy ra f liên tục tại mọi $x_{0}$ $\neq$ 2 nên f liên tục trên tập xác định.

53. Chứng minh rằng phương trình $x^{3}$ + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn - 1.

Giải

Hàm số f(x) = $x^{3}$ + x + 1 liên tục trên đoạn [-1; 0] có f(-1) = -1 và f(0) = 1. Vì f(-1)f(0) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm âm lớn hơn - 1 của phương trình đã cho.

54. Cho hàm số :

a) Chứng tỏ rằng f(-1)f(2) < 0

b) Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2)

c) Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục hay không ?

Giải

a) Ta có f(-1) = -1;

⇒ f(-1). f(2) < 0

b) Vì f(0) $\neq$ 0 với mọi x $\in$ R nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm.

c) Điều khẳng định trong b) không mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục vì hàm số f gián đoạn tại điểm x = 0 $\in$ [-1; 2]

C. BÀI TẬP LÀM THÊM

1. a) Vẽ đồ thị hàm số

b) f có liên tục tại x = 0 không ?

2. Xét tính liên tục của hàm số

Hướng dẫn :

⇒ f gián đoạn tại x = 1

3. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số :

4. Định a, b để hàm số sau liên tục trên R

Hướng dẫn :

Từ (1) và (2) suy ra : a = 1; b = - 2

5. Chứng minh rằng phương trình 2$x^{3}$ - 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (-2; 2).

Hướng dẫn :

f(-2). f(-1) < 0; f(-1). f(1) < 0, f(1).f(2) < 0