§2. HOÁN VỊ CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

5. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng ? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).

Giải

Có 5! = 120 khả năng

6. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba?

Giải

Có $A_{8}^{3}$ = 8.7.6 = 336 kết quả

7. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm. Hỏi :

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ $\vec{0}$ mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?

Giải

a) Giả sử P = {$A_{1}$; $A_{2}$,..., $A_{n}$}. Với mỗi tập con {$A_{i}$; $A_{j}$} (i $\neq$ j), ta tạo được đoạn thẳng $A_{i}A_{j}$. Ngược lại, mỗi đoạn thẳng với hai đầu mút là hai điểm $A_{i}$, $A_{j}$ tương ứng với tập con {$A_{i}$; $A_{j}$}. Thứ tự hai đầu mút không quan trọng : Đoạn thẳng $A_{i}A_{j}$ và đoạn thẳng $A_{j}A_{i}$ chỉ là một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc P chính bằng số tổ hợp chập 2 của n phần tử, tức là bằng

b) Với mỗi bộ hai điểm có sắp thứ tự ($A_{i}$, $A_{j}$) (i $\neq$ j), ta tạo được một vectơ $\overrightarrow{A_{i}A_{j}}$ ứng với một bộ hai điểm có sắp thứ tự ($A_{i}$, $A_{j}$), $A_{i}$ là điểm gốc, $A_{j}$ là điểm ngọn. Thứ tự hai điểm ở đây là quan trọng vì $\overrightarrow{A_{i}A_{j}}$ và $\overrightarrow{A_{j}A_{i}}$ là hai vectơ khác nhau. Do đó số vectơ cần tìm bằng số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử, tức là bằng $A_{n}^{2}$ = n(n - 1).

8. Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.

a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

Giải

a) Số cách chọn 3 người mà không có sự phân biệt về chức vụ trong ban thường vụ bằng số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử, tức bằng $C_{7}^{3}$ = 35 cách chọn.

b) Số cách chọn 3 người với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Uỷ viên thường vụ bằng số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử, tức bằng : $A_{7}^{3}$ = 210 cách chọn.

9. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời ?

Giải

Bài thi có $4^{10}$ = 1048576 phương án trả lời.

10. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 ?

Giải

Một số có 6 chữ số và chia hết cho 5 có dạng $\overline{abcdeg}$ với a có 9 cách chọn, g có hai cách chọn và b, c, d, e mỗi chữ số có 10 cách chọn. Vậy theo qui tắc nhân ta có : 9.$10^{4}$.2 = 180000 số.

11. Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G, trong đó số viết trên một cạnh cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ?

Giải

Có 4 phương án đi qua các tỉnh A đến G là :

a) A → B → D → E → G;

b) A → B → D → F → G;

c) A → C → D → E → G;

d) A → C → D → F → G.

Theo quy tắc nhân, ta có :

Phương án a) có 2.3.2,5 = 60 cách đi;

Phương án b) có 2.3.2.2 = 24 cách đi;

Phương án c) có 3.4.2.5 = 120 cách đi;

Phương án d) có 3.4.2.2 = 48 cách đi.

Theo quy tắc cộng, ta có cả thảy 60 + 24 + 120 + 48 = 252 cách đi từ A đến G.

12. Xét sơ đồ mạng điện ở hình dưới có 6 công tác khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở. Hỏi có bao nhiêu cách đóng - mở 6 công tắc để mạng điện thông mạch từ P đến Q (tức là có dòng điện từ P đến Q) ?

Giải

Mỗi cách đóng - mở 6 công tắc của mạng điện được gọi là một trạng thái của mạng điện. Theo quy tắc nhân, mạng điện có $2^{6}$ = 64 trạng thái. Trước hết, ta tìm xem có bao nhiêu trạng thái không thông mạch (không có dòng điện đi qua). Mạch gồm hai nhánh A → B và C → D. Trạng thái không thông mạch xảy ra khi và chỉ khi cả hai nhánh A → B và C → D đều không thông mạch. Dễ thấy nhánh A → B có 8 trạng thái trong đó chỉ có duy nhất một trạng thái thông mạch, còn lại có 7 trạng thái không thông mạch. Tương tự ở nhánh C → D có 7 trạng thái không thông mạch. Theo quy tắc nhân, ta có 7.7 = 49 trạng thái mà cả A → B và C → D đều không thông mạch. Vậy mạng điện có 64 - 49 = 15 trạng thái thông mạch từ P tới Q.

13. Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau.

a) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

b) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

Giải

a) Số cách chọn ra 4 người điểm cao nhất trong 15 người tham dự là số tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là $C_{15}^{4}$ = 1365.

b) Số cách chọn ra 3 giải nhất, nhì, ba là số chỉnh hợp chập 3 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là $A_{15}^{3}$ = 2730.

14. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có bốn giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi :

a) Có bao nhiêu kết quả có thể ?

b) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất ?

c) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong 4 giải ?

Giải

a) Có $A_{100}^{4}$ = 94109400 kết quả có thể

b) Nếu giải nhất đã xác định thì 3 giải nhì, ba, tư sẽ rơi vào 99 người còn lại.

Vậy có $A_{99}^{3}$ = 941094 kết quả có thể.

c) Người giữ vé số 47 có 4 khả năng trúng một trong 4 giải. Sau khi xác định giải của người này thì 3 giải còn lại sẽ rơi vào 99 người không giữ vé số 47. Vậy có $A_{99}^{3}$ khả năng. Theo quy tắc nhân, ta có 4.$A_{99}^{3}$ = 3764376 kết quả có thể.

15. Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn, phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải

Số cách chọn 5 em trong 10 em là $C_{10}^{5}$. Số cách chọn 5 em toàn nam là $C_{8}^{5}$

Do đó số cách chọn có ít nhất một nữ là $C_{10}^{5}$ - $C_{8}^{5}$ = 196.

16. Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải

Số cách chọn 5 em toàn nam là $C_{7}^{5}$. Số cách chọn 4 nam và 1 nữ là $C_{7}^{4}C_{3}^{1}$.

Vậy đáp số bài toán là : $C_{7}^{5}$ + $C_{7}^{4}C_{3}^{1}$ = 126.

BÀI TẬP LÀM THÊM

1. a) Tìm tổng tất cả các số có 3 chữ số 1, 2, 3 (không có chữ số nào trùng nhau)

b) Tìm tổng tất cả các số có 4 chữ số khác nhau 1, 3, 5, 7.

Hướng dẫn :

a) Có 6 số là hoán vị của 1, 2, 3; S = 1332

b) Tương tự.

2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần ?

Hướng dẫn :

Xét 8 chữ số 0, $1_{a}$, $1_{b}$, $1_{c}$, 2, 3, 4, 5

Có 8! - 7! = 7.7! số có 8 chữ số nếu xem $1_{a}$, $1_{b}$, $1_{c}$ là khác nhau đôi một.

Nhưng vì $1_{a}$ = $1_{b}$ = $1_{c}$ = 1 nên số các số trên giảm 3! = 6 lần.

ĐS: $\large \frac{7.7!}{3!}$ = 5880 số.

3. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.

Hướng dẫn :

• Số có dạng $\overline{abcde}$ (a $\neq$ 0)

• Với a = 5 có $A_{6}^{4}$ số

• Với a $\neq$ 0 có 4.5 $A_{10}^{6}$ cách chọn.

Vậy có $A_{10}^{6}$ + 20$A_{10}^{6}$ = 1560 số

4. Trong không gian cho 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh là các điểm đã cho

ĐS : $C_{9}^{4}$ = 126

5. Một tổ chức gồm 9 nam và 3 nữ. Giáo viên muốn chọn 4 học sinh để trực. Có bao nhiêu cách chọn nếu :

A) Chọn học sinh nào cũng được ;

B) Chọn đúng một nữ ;

C) Chọn ít nhất một nữ.

ĐS :

a) $C_{12}^{4}$ = 495 ;

b) $C_{3}^{1}.C_{9}^{3}$ = 252 ;

c) 369.