Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao

§5. ĐẠO HÀM CẤP CAO

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA

1. Đạo hàm cấp hai:

Định nghĩa:

Cho hàm số f có đạo hàm f'. Nếu f' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f và kí hiệu là f'', tức là :

f'' = (f')'

f' còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) còn được kí hiệu là y"

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Gia tốc (tức thời) a($t_{0}$) tại thời điểm $t_{0}$ của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình s = s(t) bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s = s(t) tại điểm $t_{0}$, tức là :

a($t_{0}$) = s"($t_{0}$)

Gia tốc tại thời điểm $t_{0}$ đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó.

3. Đạo hàm cấp cao:

Cho hàm số f có đạo hàm cấp n - 1 (với n $\in$ N, n $\geq$ 2) là $f^{(n-1)}$. Nếu $f^{(n-1)}$ là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là $f^{(n)}$. Nói cách khác :

$f^{(n)}$ = [$f^{(n-1)}$]', (n $\in$ N, n $\geq$ 2)

Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) còn được kí hiệu là $y^{(n)}$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

42. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.

a) f(x) = $x^{4}$ - cos2x, $f^{(4)}$(x);

b) f(x) = $cos^{2}$x, $f^{(5)}$x ;

c) f(x) = $(x+10)^{6}$, $f^{(n)}$ (x).

Giải

a) Ta có : f(x) = 4$x^{3}$ + 2sin2x;

f"(x) = 12$x^{2}$ + 4cos2x

$f^{(3)}$ = 24x - 8sin2x ;

$f^{(4)}$(x) = 24 - 16cos2x

b) f'(x) = 2cosx(-sinx) = -sin2x;

f"(x) = -2cos2x

$f^{(3)}$(x) = 4sin2x; $f^{(4)}$ = 8cos2x;

$f^{(5)}$(x) = -16sin2x

c) f'(x) = 6$(x+10)^{5}$;

f''(x) = 30$(x+10)^{4}$;

$f^{(3)}$(x) = 120$(x+10)^{3}$

$f^{(4)}$(x) = 360$(x+10)^{2}$;

$f^{(5)}$(x) = 720(x + 10);

$f^{(6)}$(x) = 720

$f^{(n)}$(x) = 0 $\forall n\geq 7$

43. Chứng minh rằng với mọi n $\geq$ 1, ta có :

b) Nếu f(x) = cosx thì $f^{(4n)}$(x) = cosx ;

c) Nếu f(x) = sinax (a là hằng số) thì $f^{(4n)}$(x) = $a^{4n}$sinax.

Giải

a) Cho Ta hãy chứng minh công thức :

(1) bằng phương pháp qui nạp.

+ Với n = 1, ta có:

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp n = k (k $\geq$ 1), tức là

ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là :

Thật vậy, ta có :

b) Cho f(x) = cosx. Ta hãy chứng minh công thức :

$f^{(4n)}$(x) = cosx ($\forall n\geq 1$) (2) bằng phương pháp qui nạp.

Ta có : f'(x) = -sinx; f''(x) = -cosx ; f'''(x) = sinx ; $f^{(4)}$(x) = cosx

+ Với n = 1 thì $f^{(4n)}$(x) = $f^{(4)}$(x) = cosx

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k $\geq$ 1), tức là : $f^{(4k)}$(x) = cosx, ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là phải chứng minh :

Thật vậy, vì:

c) Ta có : f'(x) = acosax ; f''(x) = -$a^{2}$sinax ;

$f^{(3)}$(x) = - $a^{3}$cosax ; $f^{(4)}$(x) = $a^{4}$sinax.

- Với n = 1 ta có $f^{(4)}$(x) = $a^{4}$sinax, đẳng thức đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k tức là : $f^{(4k)}$(x) = $a^{4k}$sinax

Với n = k + 1 ta có

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1, do đó đẳng thức đúng với mọi n.

44. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3$t^{2}$, trong đó t tính bằng giây (s), t > 0 và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm :

a) Tại thời điểm t = 4s;

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11 m/s.

Giải

Ta có a(t) = v'(t) = 8 + 6t

a) Khi t = 4s thì a(4) = 32m/$s^{2}$

b) Khi v(t) = 11 m/s thì ta được :

Với t = 1s thì a(1) = 14m/$s^{2}$

45. Tính vi phân của mỗi hàm số sau :

Giải

46. Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):

Hướng dẫn : Xét hàm số tại điểm $x_{0}$ = 20,25 = $4,5^{2}$ với $\Delta$x = 0,05

b) tan29°30'.

Hướng dẫn : Xét hàm số y = tanx tại điểm với

Giải

a) Vì nên ta xét hàm số tại $x_{0}$ = 20,25

Với $\Delta$x = 0,05. Ta có :

Do đó :

b) Vì nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại

Với Ta có :

Do đó :

47. a) Cho hàm số f(x) = tanx. Tính $f^{(n)}$(x) với n = 1, 2, 3.

b) Chứng minh rằng nếu f(x) = $sin^{2}$x thì $f^{(4x)}$(x) = - $2^{4n-1}$cos2x (1)

Giải

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

48. Chứng minh rằng :

a) Nếu y = Asin($\omega$t + $\varphi$) + Bcos($\omega$t + $\varphi$), trong đó A, B, $\omega$ và $\varphi$ là những hằng số, thì y" + $\omega ^{2}$y = 0

b) Nếu y = $\sqrt{2x-x^{2}}$ thì $y^{3}$y" + 1 = 0

Giải