Dãy số có giới hạn hữu hạn

§2. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA

1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn:

Dãy số ($u_{n}$) có giới hạn là số thực L nếu lim($u_{n}$ - L) = 0. Khi đó ta viết :

lim($u_{n}$) = L hoặc lim$u_{n}$ = L hoặc $u_{n}$ → L

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

2. Một số định lí :

Định lí 1:

Giả sử lim$u_{n}$ = L. Khi đó :

a) lim $\mid u_{n}\mid$ = $\mid$L$\mid$ và lim $\sqrt[3]{u_{n}}$ = $\sqrt[3]{L}$

b) Nếu $u_{n}$ $\geq$ 0 với mọi n thì L $\geq$ 0 và lim $\sqrt{u_{n}}$ = $\sqrt{L}$

Định lí 2:

Giả sử lim$u_{n}$ = L, lim$v_{n}$ = M và c là một hằng số. Khi đó :

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

với $\mid$q$\mid$ < 1

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

5. Tìm các giới hạn sau :

Giải

6. Tìm lim$u_{n}$ với

Giải

a) Ta có

7. Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi :

a) Chứng minh rằng dãy số ($v_{n}$) xác định bởi là một cấp số nhân

b) Tim lim$u_{n}$

Giải

a) Ta có

Thay vào ta được :

Vậy ($v_{n}$) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

8. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$,..., tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n}B_{n}C_{n}$... Gọi $p_{1}$, $p_{2}$,..., $p_{n}$,... và $S_{1}$, $S_{2}$,..., $S_{n}$... theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$, $A_{2}B_{2}C_{2}$,.., $A_{n}B_{n}C_{n}$...

a) Tìm giới hạn của các dãy số ($p_{n}$) và ($S_{n}$);

b) Tìm các tổng : $p_{n}$ + $p_{2}$ +...+ $p_{n}$ +... và $S_{1}$ + $S_{2}$ +...+ $S_{n}$ +...

Giải

a) Ta có :