Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản (phương pháp giải bài tập)

§3. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

27. Giải các phương trình sau :

a) 2cosx - $\sqrt{3}$ = 0

b) $\sqrt{3}$tan3x – 3 = 0;

c) (sinx + 1)(2cos2x - $\sqrt{2}$) = 0

Giải

28. Giải các phương trình sau :

a) 2$cos^{2}$x - 3cosx + 1 = 0;

b) $cos^{2}$x + sinx + 1 = 0;

c) $\sqrt{3}$$tan^{2}$x - (1 + $\sqrt{3}$)tanx + 1 = 0.

Giải

29. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm):

Giải

a) Ta có 3cos2x + 10sinx + 1 = 0

Phương trình có nghiệm gần đúng là x $\approx$ -0,34

b) Ta thấy 0 < x < $\large \frac{\pi }{2}$ ⇔ 0 < 2x < $\pi$. Với điều kiện đó, ta có :

trong đó $\alpha$ là số thực thuộc khoảng (0; $\pi$) thỏa mãn . Dùng bảng số hoặc máy tính, ta tìm được $\alpha$ $\approx$ 2,42. Từ đó nghiệm gần đúng của phương trình là

Nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng (0; $\pi$) là x $\approx$ 0,2; x $\approx$ 2,68

Với điều kiện đó, ta có :

trong đó $\beta$ là số thực thuộc khoảng thỏa mãn bảng số hoặc máy tính cho ta $\beta$ $\approx$ 1,03. Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x $\approx$ 0,34.

30. Giải các phương trình sau :

a) 3cosx + 4sinx = -5;

b) 2sin2x - 2cos2x = $\sqrt{2}$

c) 5sin2x - 6$cos^{2}$x = 13.

Giải

a) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5 ta được :

b) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{2^{2}+2^{2}}$ = $2\sqrt{2}$ ta được :

c) 5sin2x – 6$cos^{2}$x = 13 ⇔ 5sin2x - 3(1 + cos2x) = 13

⇔ 5sin2x - 3cos2x = 16

Chia hai vế cho $\sqrt{5^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{34}$ ta được :

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

31. Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = $\mid$d$\mid$ trong đó : d = 5sin6t - 4cos6t, với d được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi :

a) Ở vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?

b) Ở vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?

(Tính chính xác đến giây)

Giải

Ta có :

trong đó số $\alpha$ được chọn sao cho Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được $\alpha$ $\approx$ 0,675.

a) Vật ở vị trí cân bằng khi d = 0, nghĩa là sin(6t - $\alpha$) = 0

Ta cần tìm k nguyên dương sao cho 0 $\leq$ t $\leq$ 1.

Với $\alpha$ $\approx$ 0,675, ta thu được - 0,215 < k < 1,7, nghĩa là k $\in$ {0; 1}. Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :

b) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi $\mid$d$\mid$ nhận giá trị lớn nhất.

Điều đó xảy ra nếu Ta có :

Với $\alpha$ $\approx$ 0,675, ta thu được - 0,715 < k < 1,2; nghĩa là k $\in$ {0; 1}. Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :

32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

a) asinx + bcosx (a và b là hằng số, $a^{2}$ + $b^{2}$ $\neq$ 0) ;

b) $sin^{2}$x + sinxcosx + 3$cos^{2}$x ;

c) A$sin^{2}$x + Bsinxcosx + C$cos^{2}$x (A, B và C là hằng số).

Giải

Vậy A$sin^{2}$x + Bsinxcosx + C$cos^{2}$x đạt giá trị lớn nhất là :

33. Giải các phương trình sau :

Giải

a) cosx = 0 không thỏa mãn phương trình.

Chia hai vế phương trình cho $cos^{2}$x $\neq$ 0 ta được :

Phương trình vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Các giá trị của x mà cosx = 0 không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho $cos^{2}$x ta được :

c) Các giá trị của x mà cosx = 0 không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho $cos^{2}$x ta được :

34. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng để giải các phương trình sau:

a) cosxcos5x = cos2xcos4x ;

b) cos5xsin4x = cos3xsin2x;

c) sin2x + sin4x = sin6x ;

d) sinx + sin2x = cosx + cos2x.

Giải

35. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau :

a) $sin^{2}$4x + $sin^{2}$3x = $sin^{2}$2x + $sin^{2}$x;

b) $cos^{2}$x + $cos^{2}$2x + $cos^{2}$3x + $cos^{2}$4x = 2

Giải

a) $sin^{2}$4x + $sin^{2}$3x = $sin^{2}$2x + $sin^{2}$x

b) Ta có :

36. Giải các phương trình sau :

b) tan(2x + 10°) + cotx = 0;

c) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx ;

d) tanx + tan2x = sin3xcosx;

e) tanx + cot2x = 2cot4x.

Giải

Ta có : tan(2x + 10°) + cotx = 0 ⇔ tan(2x + 10°) = tan(90° + x)

⇔ 2x + 10° = 90° + x + k180° ⇔ x = 80° + k180°

Hiển nhiên x = 80° + k180° thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 80° + k180°.

c) Đặt t = tanx, với điều kiện cosx $\neq$ 0.

d) ĐKXĐ: cosx $\neq$ 0 và cos2x $\neq$ 0. Với điều kiện đó, ta có:

e) ĐKXĐ: cosx $\neq$ 0, sin2x $\neq$ 0 và sin4x $\neq$ 0. Tuy nhiên chỉ cần sin4x $\neq$ 0 là đủ (vì sin4x = 2sin2xcos2x = 4sinxcosxcos2x). Với điều kiện đó ta có:

Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện sin4x $\neq$ 0. Ta có :

- Nếu k chia hết cho 3, tức là k = 3m (m $\in$ Z) thì sin4x = sin4m$\pi$ = 0

- Nếu k không chia hết cho 3, tức là thì :

Vậy nghiệm của phương trình là với k nguyên và không chia hết cho 3.

37. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (t $\geq$ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = $\mid$d$\mid$ với trong đó ta

qui ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp trái lại.

a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

b) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến giây)

Giải

a) Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi

Với k = 0 thì t = $\large \frac{1}{2}$. Với k = 1 thì t = 2. Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm $\large \frac{1}{2}$ giây và 2 giây.

b) Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi

Kết luận: Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là t $\approx$ 0,10 giây; t $\approx$ 0,90 giây và t $\approx$ 1,60 giây.

38. Giải các phương trình sau :

Giải

39. Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:

a) sinx - 2cosx = 3;

b) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0

Hướng dẫn : b) Đặt sinx + cosx = t.

Giải

a) sinx - 2cosx = 3 trong đó $\alpha$ là số thỏa mãn Phương trình cuối cùng vô nghiệm do nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Trong phương trình 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0, ta đặt t = sinx + cosx với điều kiện $\mid$t$\mid$ $\leq$ $\sqrt{2}$ thì được phương trình 5$t^{2}$ + t + 1 = 0. Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

40. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính gần đúng thì tính chính xác đến giây),

Giải

Vậy với điều kiện 0° $\leq$ x $\leq$ 360°, phương trình có hai nghiệm là x = 90° và x = 270°.

b) ĐKXĐ: sinx $\neq$ 0 và cosx $\neq$ 0. Ta có :

• tanx = 1 ⇔ x = 45° + k180°. Có một nghiệm thỏa mãn 180° $\leq$ x $\leq$ 360°, ứng với k = 1 là x = 225°.

• tanx = 2 ⇔ x = $\alpha$ + k180° với tan$\alpha$ = 2. Ta có thể chọn $\alpha$ $\approx$ 63°26'5,8".

Vậy có một nghiệm (gần đúng) thỏa mãn 180° $\leq$ x $\leq$ 360° là :

x = $\alpha$ + 180° $\approx$ 243°26'5,8"

Kết luận: Với điều kiện 180° $\leq$ x $\leq$ 360°, phương trình có hai nghiệm x = 225° và x $\approx$ 243°26'5,8".

41. Giải các phương trình sau:

a) 3$sin^{2}$x - sin2x - $cos^{2}$x = 0;

b) 3$sin^{2}$2x - sin2xcos2x - 4$cos^{2}$2x = 2;

c) 2$sin^{2}$x + (3 + $\sqrt{3}$)sinxcosx + ($\sqrt{3}$ - 1)$cos^{2}$x = - 1.

Giải

a) Cách 1: (chia hai vế cho $cos^{2}$x). Chú ý rằng những giá trị của x mà cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Do đó :

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là :

Cách 2: (dùng công thức hạ bậc)

b) Những giá trị của x mà cos2x = 0 không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho $cos^{2}$2x ta được :

c) Với giá trị x mà cosx = 0 không là nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho $cos^{2}$x ta được:

42. Giải các phương trình sau :

a) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x ;

b) sinx = $\sqrt{2}$sin5x - cosx ;

Giải

c) ĐKXĐ: sin4x $\neq$ 0 (điều kiện này đã bao gồm sin2x $\neq$ 0 và cos2x $\neq$ 0). Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với sin4x :