Phương trình lượng giác cơ bản (phương pháp giải bài tập)

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

14. Giải các phương trình sau :

Giải

15. a) Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó những điểm có hoành độ thuộc khoảng (-$\pi$; 4$\pi$) là nghiệm của mỗi phương trình sau :

b) Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau :

Giải

Xem hình vẽ

b) Tương tự câu a) ta có hình vẽ sau :

1) Nghiệm của phương trình cosx = $\large \frac{1}{2}$ thuộc khoảng (-$\pi$; 4$\pi$) là :

2) Nghiệm của phương trình cosx = - 1 thuộc khoảng (-$\pi$; 4$\pi$) là :

$x_{1}$ = -$\pi$; $x_{2}$ = $\pi$; $x_{3}$ = 3$\pi$.

16. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho :

Giải

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng (0; $\pi$) là :

Ta tìm k để điều kiện - $\pi$ < x < $\pi$ được thỏa mãn.

• Xét họ nghiệm thứ nhất :

Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = - 1.

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là

• Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là

17. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số :

a) Thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Giải

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 (ứng với k = 0) và ngày thứ 262 (ứng với k = 1) trong năm.

b) Do sinx $\geq$ - 1 với mọi x nên thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi :

Phương trình đó cho ta

Mặt khác, (do k nguyên)

Vậy thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) khi t = 353, tức là vào ngày thứ 353 trong năm

c) Tương tự, ta phải giải phương trình:

Vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm.

18. Giải các phương trình sau :

Giải

b) tan(x - 15°) = 5 ⇔ x = $\alpha$ + 15° + k180°, trong đó tan$\alpha$ = 5 (chẳng hạn, có thể chọn $\alpha$ $\approx$ 78°41'24" nhờ dùng máy tính bỏ túi)

19. a) Vẽ đồ thị hàm số y = tanx rồi chỉ ra trên các đồ thị đó những điểm có hoành độ thuộc khoảng (-$\pi$; $\pi$) là nghiệm của mỗi phương trình sau :

1) tanx = -1;

2) tanx = 0

b) Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cotx cho mỗi hàm số sau :

Giải

1) Phương trình tanx = - 1 có nghiệm thuộc khoảng (-$\pi$; $\pi$) là :

2) Phương trình tanx = 0 có nghiệm thuộc khoảng (-$\pi$; $\pi$) là x = 0

1) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-$\pi$; $\pi$) là :

2) Phương trình cotx = 1 có nghiệm thuộc khoảng (-$\pi$; $\pi$) là :

20. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho :

a) tan(2x - 15°) = 1 với -180° < x < 90° ;

Giải

a) tan(2x - 15°) = 1 ⇔ 2x = 15° + 45° + k180° ⇔ x = 30° + k90°

Vậy các nghiệm của phương trình là x = - 150°, x = - 60° và x = 30°.

21. Khi giải phương trình tanx = -$\sqrt{3}$, bạn Phương nhận thấy

và viết :

Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy nên giải như sau :

Theo em, ai giải đúng, ai giải sai ?

Giải

Cả hai bạn đều giải đúng. Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một.

Thực vậy, họ nghiệm có thể viết lại là hay đây chính là kết quả mà Phương tìm được.

22. Tính các góc của tam giác ABC, biết AB = $\sqrt{2}$cm, AC = $\sqrt{3}$cm và đường cao AH = 1cm. (Gợi ý :Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H là trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H).

Giải

Ta xét hai trường hợp:

B và C nằm khác phía đối với H

Trong tam giác vuông ABH ta có :

Suy ra $\widehat{B}$ = 45° (chú ý rằng góc B nhọn)

Trong tam giác ACH ta có :

Từ đó $\widehat{A}$ = 180° - ($\widehat{B}$ + $\widehat{C}$) $\approx$ 99°44'8"

B và C nằm cùng phía đối với H

Tương tự như trên ta có :

$\widehat{ABC}$ = 180° - $\widehat{ABH}$ = 180° - 45° = 135°

$\widehat{C}$ $\approx$ 35°15'52"

Từ đó $\widehat{A}$ = 180° - ($\widehat{B}$ + $\widehat{C}$) $\approx$ 9°44'8"

23. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

Giải

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là :

24. Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mỹ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất như hình vẽ. Điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng $\Delta$ mô tả cho đường xích đạo. Khoảng cách h (kilômet) từ M đến $\Delta$ được tính theo công thức h = $\mid$d$\mid$, trong đó : là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên $\Delta$, d < 0 nếu M ở phía dưới $\Delta$

a) Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với t = 0), Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng $\Delta$, trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.

b) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000.

c) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = - 1236.

(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).

Giải

Chú ý rằng t > 0 ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của t là t = 25. Vậy d = 2000 (km) xảy ra lần đầu tiên sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo được 25 phút.

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta có thể chọn $\alpha$ $\approx$ 1,885. Khi đó ta có :

Dễ thấy giá trị dượng nhỏ nhất của t là 37,000. Vậy d = -1236 (km) xảy ra lần đầu tiên là 37,000 phút sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo.

25. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = $\mid$y$\mid$, trong đó :