§4. VI PHÂN

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA

1. Vi phân của hàm số tại một điểm:

Tích f'($x_{0}$)$\Delta$x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm $x_{0}$ (ứng với số gia $\Delta$x) và được kí hiệu là df($x_{0}$), tức là :

df($x_{0}$) = f'($x_{0}$)$\Delta$x.

2. Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng:

f($x_{0}$ + $\Delta$x) $\approx$ f($x_{0}$) + f'($x_{0}$)$\Delta$x (1)

3. Vi phân của hàm số :

Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích f'(x)$\Delta$x gọi là vi phân của hàm số y = f(x), kí hiệu là : df(x) = f'(x)$\Delta$x (2).

Tính vi phân của hàm số y = x, ta có dx = (x)'$\Delta$x. Do đó ta có thể viết (2) dưới dạng :

df(x) = f'(x)dx hay dy = y'dx (3)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

39. Tính vi phân của hàm số f(x) = sin2x tại điểm ứng với $\Delta$x = 0,01; $\Delta$x = 0,001

Giải

40. Tính vi phân của các hàm số sau :

(a và b là các hằng số) ;

b) y = xsinx ;

c) y = $x^{2}$ + $sin^{2}$x ;

d) y = $tan^{3}$x.

Giải

a) Ta có

b) y' = sinx + xcosx ⇒ dy = y'dx = (sinx + xcosx)dx

c) dy = y'dx = (2x + sin2x)dx

d) dy = y'dx = 3$tan^{2}$x(1 + $tan^{2}$x)dx

41. Áp dụng công thức (1), tìm giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)

Giải

a) Xét hàm số

Đặt $x_{0}$ = 1, $\Delta$x = -0,0005 và áp dụng công thức gần đúng

f($x_{0}$ + $\Delta$x) $\approx$ f($x_{0}$) + f'($x_{0}$)$\Delta$x

ta được :

hay:

b) Xét f(x) = $\sqrt{x}$ ta có

$x_{0}$ = 1, $\Delta$x = -0,004

c) Xét hàm số f(x) = cosx, ta có f'(x) = -sinx.

Đặt

và áp dụng công thức gần đúng trên, ta được :

C. BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Cho chứng minh rằng ydy - (x - 1)dx = 0.

2. Tìm giá trị gần đúng của :

a) $\sqrt[3]{215}$;

b) cos61°;

c) $\sqrt[4]{1,04}$

Đáp số :

a) 5,9907 (xét f(x) = $\sqrt[3]{x}$, $x_{0}$ = 216, $\Delta$x = - 1)

b) 0,4849 (xét f(x) = cosx, $x_{0}$ = 60°, $\Delta$x = 1° = 0,0174)

c) 1,01