Cấp số cộng (phương pháp giải bài tập)

§3. CẤP SỐ CỘNG

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

a) Chứng minh dãy ($u_{n}$) là cấp số cộng:

Ta chứng minh hiệu $u_{n+1}-u_{n}$ là một hằng số (không phụ thuộc vào n)

Khi đó ($u_{n}$) là cấp số cộng có công sai d = $u_{n+1}-u_{n}$

b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng :

• Xác định $u_{1}$ và d

• $u_{n}$ = $u_{1}$ + (n - 1)d

• $u_{n}-u_{m}$ = (n - m)d

19. Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:

a) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = 19n - 5 ;

b) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = an + b, trong đó a và b là các hằng số.

Giải

a) Ta có $u_{n+1}-u_{n}$ = 19(n + 1) - 5 - (19n - 5) = 19 với mọi n $\geq$ 1.

Do đó ($u_{n}$) là một cấp số cộng với công sai d = 19.

b) Ta có $u_{n+1}-u_{n}$ = a(n + 1) + b - (an + b) = a với mọi n $\geq$ 1.

Do đó ($u_{n}$) là một cấp số cộng với công sai d = a.

20. Trên tia Ox lấy các điểm $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$... sao cho với mỗi số nguyên dương n, $OA_{n}$ = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính $OA_{n}$, n = 1, 2,... Kí hiệu $u_{1}$ là diện tích của nửa hình tròn đường kính $OA_{1}$ và với mỗi n $\geq$ 2, kí hiệu $u_{n}$ là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $OA_{n-1}$, nửa đường tròn đường kính $OA_{n}$ và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Giải

Với n $\geq$ 2 ta có :

Do đó ($u_{n}$) là cấp số cộng với công sai

21. Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng:

a) Mỗi cấp số cộng với công sai d > 0 là một dãy số.

$\square$ Tăng

$\square$ Giảm

$\square$ Không tăng cũng không giảm

b) Mỗi cấp số cộng với công sai d < 0 là một dãy số.

$\square$ Tăng

$\square$ Giảm

$\square$ Không tăng cũng không giảm

Trả lời

a) Tăng

b) Giảm

22. Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40, Hãy tìm cấp số cộng đó.

Với mỗi n $\in$ {1, 2, 3, 4, 5}, kí hiệu $u_{n}$ là số hạng thứ n của cấp số cộng đã cho.

Vậy cấp số cộng cần tìm là : 11, 14, 17, 20, 23

23. Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có $u_{20}$ = -52 và $u_{51}$ = - 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng.

Vậy $u_{n}$ = $u_{1}$ + (n - 1)d = 5 + (n - 1)(-3)

$u_{n}$ = - 3n + 8

24. Cho cấp số cộng ($u_{n}$) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m $\geq$ k. Chứng minh rằng $u_{m}$ = $u_{k}$ + (m - k)d.

Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng ($u_{n}$) mà tu $u_{18}$ - $u_{3}$ = 75

Giải

Ta có $u_{m}$ = $u_{1}$ + (m - 1)d (1)

$u_{k}$ = $u_{1}$ + (k - 1)d (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được :

$u_{m}$ - $u_{k}$ = (m - k)d ⇒ $u_{m}$ = $u_{k}$ + (m - k)d

Áp dụng :

Ta có $u_{18}$ - $u_{3}$ = (18 - 3)d = 15d = 75

⇒ d = 5

25. Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có $u_{1}$ - $u_{3}$ = 6 và $u_{5}$ = -10. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng

Vậy d = - 3 và $u_{n}$ = $u_{1}$ + (n - 1)d = 2 – 3(n - 1) = - 3n + 5 .

26. Hãy chứng minh định lý 3:

Giải

Ta sẽ chứng minh với mọi n $\in$ N*, bằng phương pháp qui nạp.

Với n = 1, ta có Như vậy (1) đúng khi n = 1.

Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*. Khi đó

nghĩa là (1) cũng đúng khi n = k + 1

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n $\in$ N*.

27. Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có $u_{2}$ + $u_{22}$ = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có :

$u_{1}$ = $u_{2}$ - d và $u_{23}$ = $u_{22}$ + d

Do đó, áp dụng định lí 3 cho n = 23, ta được :

28. Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.

Giải

Kí hiệu A, B, C là số đo ba góc (tính theo đơn vị đo) của tam giác vuông đã cho. Không mất tổng quát, có thể giả sử A $\leq$ B $\leq$ C. Khi đó, từ giả thiết dễ dàng suy ra C = 90 (độ) và A, B, C theo thứ tự đó là một cấp số cộng.