§2. CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
16. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm $x_{0}$ được cho kèm theo.
a) y = 7 + x - $x^{2}$, $x_{0}$ = 1;
b) y = $x^{3}$ - 2x + 1, $x_{0}$ = 2;
c) y = 2$x^{5}$ - 2x + 3, $x_{0}$ = 1.
Giải
a) y' = 1 - 2x ⇒ y'(1) = - 1
b) y' = 3$x^{2}$ - 2 ⇒ y'(2) = 10
c) y' = 10$x^{4}$ - 2 ⇒ y'(1) = 8
17. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số) :
.png)
Giải
.png)
18. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :
.png)
Giải
.png)
19. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :
.png)
Giải
.png)
20. Cho hàm số .png)
Hãy giải bất phương trình f'(x) $\leq$ f(x)
Giải
Vì f'(x) = .png)
nên ta cần giải bất phương trình .png)
.png)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .png)
21. Cho hàm số f(x) = $x^{3}$ - 3$x^{2}$ + 2. Hãy giải bất phương trình :
a) f'(x) > 0;
b) f'(x) $\leq$ 3.
Giải
Ta có : f'(x) = 3$x^{2}$ – 6x
a) f'(x) > 0 ⇔ 3$x^{2}$ - 6x > 0 ⇔ x < 0 hoặc x > 2
b) f'(x) $\leq$ 3 ⇔ 3$x^{2}$ - 6x $\leq$ 3 ⇔ $x^{2}$ - 2x - 1 $\leq$ 0 ⇔ 1 - $\sqrt{2}$ $\leq$ x $\leq$ 1 + $\sqrt{2}$.
22. Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả gần đúng đến hàng phần nghìn).
.png)
Giải
.png)
b) Ta có y' = $x^{3}$ - 3$x^{2}$ – 3x. Do đó :
y' + 5 = 0 ⇔ $x^{3}$ - 3$x^{2}$ - 3x + 5 = 0
⇔ (x - 1)($x^{2}$ - 2x - 5) = 0
Phương trình có ba nghiệm là 1,1 + $\sqrt{6}$ và 1 - $\sqrt{6}$.
Vậy các nghiệm gần đúng của phương trình với sai số tuyệt đối không vượt quá 0,001 là :
.png)
23. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
.png)
Giải
.png)
24. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
a) .png)
biết hoành độ tiếp điểm là $x_{0}$ = 0;
b) y = $\sqrt{x+2}$, biết tung độ tiếp điểm là $y_{0}$ = 2.
Giải
.png)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y - (- 1) = 2(x - 0) ⇔ y = 2x - 1
b)
.png)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
.png)
25. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = $x^{2}$, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; - 1).
Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_{0}$ thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm $x_{0}$ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).
Giải
.png)
Đặt f(x) = $x^{2}$ và gọi $M_{0}$ là điểm thuộc (P) với hoành độ $x_{0}$. Khi đó tọa độ của điểm $M_{0}$ là ($x_{0}$; f($x_{0}$)) hay ($x_{0}$; $x_{0}^{2}$)
Cách 1: Ta có y' = 2x. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm $M_{0}$ là :
y = 2$x_{0}$(x - $x_{0}$) + $x_{0}^{2}$ ⇔ y = 2$x_{0}$x - $x_{0}^{2}$
Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; - 1) nên ta có :
.png)
+ Với $x_{0}$ = 1 thì f($x_{0}$) = 1, f'($x_{0}$) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
y = 2(x - 1) + 1 ⇔ y = 2x - 1
+ Với $x_{0}$ = - 1 thì f($x_{0}$) = 1, f'($x_{0}$) = - 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
y = -2(x + 1) + 1 ⇔ y = -2x - 1
Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua A với các phương trình tương ứng là .png)
Cách 2: Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0; -1) với hệ số góc k là :
y = kx - 1
Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm $M_{0}$ điều kiện cần và đủ là (xem bài tập 13).
.png)
Khử $x_{0}$ từ hệ này ta tìm được .png)
.
Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0;-1) với các phương trình là:
.png)
25. Hình bên thể hiện màn hình của một trò chơi điện tử. Một máy bay xuất hiện ở bên trái màn hình rồi bay sang phải theo một quỹ đạo (C) phương trình y = f(x), trong đó .png)
(x > 0). Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của (C) tại điểm đó. Tìm hoành độ các điểm thuộc (C) sao cho tên lửa bắn ra từ đó có thể bắn trúng một trong bốn mục tiêu nằm ở trên màn hình có tọa độ (1; 0), (2; 0), (3; 0) và (4; 0) (làm tròn kết quả đến hàng phần vạn).
.png)
Giải
.png)
Ta có .png)
Phương trình tiếp tuyến (d) của quỹ đạo (C) tại tiếp điểm .png)
là :
.png)
Ta phải tìm $x_{0}$ > 0, sao cho (d) lần lượt đi qua bốn điểm có tọa độ (1; 0), (2; 0), (3; 0) và (4; 0).
a) Với x = 1, y = 0, ta có $x_{0}^{2}$ + 2$x_{0}$ - 1 = 0. Suy ra $x_{0}$ = - 1 + $\sqrt{2}$ $\approx$ 0,4142;
b) Với x = 2, y = 0 ta có $x_{0}^{2}$ + 2$x_{0}$ - 2 = 0. Suy ra $x_{0}$ = - 1 + $\sqrt{3}$ $\approx$ 0,7321;
c) Với x = 3, y = 0 ta có $x_{0}^{2}$ + 2$x_{0}$ - 3 = 0. Suy ra $x_{0}$ = - 1 + 2 = 1
d) Với x = 4, y = 0 ta có $x_{0}^{2}$ + 2$x_{0}$ - 4 = 0. Suy ra $x_{0}$ = - 1 + $\sqrt{5}$ $\approx$ 1,2361.
27. Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu $v_{0}$ = 196m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ?
Giải
.png)
Cho Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên, khi đó phương trình chuyển động của viên đạn là :
.png)
Ta có vận tốc tại thời điểm t là :
v = y'(t) = $v_{0}$ - gt
Do đó : .png)
Vậy khi t = 20s thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất :
.png)
C. BÀI TẬP LÀM THÊM
Tính đạo hàm các hàm số sau
.png)