ÔN TẬP CUỐI NĂM
1. a) Tính 
b) Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức :
.png)
Giải
a) Ta có
.png)
.png)
2. Giải phương trình tanx = cot2x
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Giải
Điều kiện cosx.sin2x $\neq$ 0 .png)
.png)
.png)
Biểu diễn nghiệm trên đường tròn được 4 điểm.
3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x) = $(sinx+cosx)^{3}$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .png)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R(x) = P(x) + Q(x)
Giải
a) .png)
(đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi .png)
)
Vậy minP(x) = -2$\sqrt{2}$
b) .png)
(đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi .png)
)
Vậy minQ(x) = 4
c) R(x) = P(x) + Q(x) $\geq$ 4 – 2$\sqrt{2}$ (đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi .png)
)
Vậy min R(x) = 4 - 2$\sqrt{2}$.
4. Giải các phương trình :
.png)
Giải
.png)
5. Giải các phương trình sau :
a) 2sin(x + 10°) - $\sqrt{12}$cos(x + 10°) = 3;
b) $\sqrt{3}$cos5x + sin5x = 2cos3x ;
c) $sin^{2}$x - 3sinxcosx + 2$cos^{2}$x = 0
Giải
a) .png)
Chia hai vế cho .png)
ta được :
.png)
.png)
6. Giải các phương trình :
.png)
Giải
.png)
.png)
7. Một đoàn tàu nhỏ có 3 toa khách đỗ ở sân ga. Có 3 hành khách bước lên tàu. Hỏi :
a) Có bao nhiêu khả năng trong đó 3 hành khách lên 3 toa khác nhau ?
b) Có bao nhiêu khả năng trong đó 2 hành khách cùng lên một toa, còn hành khách thứ ba thì lên toa khác ?
Giải
a) Mỗi cách xếp 3 người vào 3 toa, mỗi toa một người là một hoán vị của tập hợp 3 hành khách. Vậy có 3! = 6 khả năng.
b) Có $C_{3}^{2}$ = 3 cách chọn hai hành khách đi chung toa. Với mỗi cách ấy lại có 3 cách chọn toa tàu cho họ. Vậy có 3.3 = 9 cách chọn hai hành khách và toa tàu cho họ đi chung. Mỗi cách ấy, hành khách thứ ba có thể chọn một trong hai toa tàu còn lại. Áp dụng qui tắc nhân, ta có 9.2 = 18 khả năng có thể xảy ra.
8. Cho tập hợp A = {1,2,...,n} với n $\in$ N, n > 1. Hỏi có bao nhiêu cặp (x; y) với x $\in$ A, y $\in$ A và x > y ?
Giải
Với hai phần tử x và y của A sao cho x > y, ta chỉ lập được một cặp duy nhất (x, y) thỏa mãn đề bài. Do đó mỗi cặp như vậy có thể xem là một tổ hợp chập 2 của n phần tử. Vậy có .png)
cặp.
9. Một túi chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ
a) Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi.
+ Tính xác suất để được 2 viên bi đen.
+ Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng.
b) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trắng trong túi.
+ Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ.
+ Tính xác suất để được 3 viên bi với 3 màu khác nhau.
Giải
a) Số trường hợp có thể là $C_{16}^{2}$. Số trường hợp rút được cả hai viên bi đen là $C_{6}^{2}$. Do đó xác suất để rút được 2 viên bi đen là .png)
Số trường hợp rút được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen là $C_{7}^{1}$.$C_{6}^{1}$ = 42. Do đó xác suất rút được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen là .png)
b) Số trường hợp có thể là $C_{16}^{3}$. Số trường hợp rút được 3 viên bi đỏ là $C_{3}^{3}$ = 1.
Vậy xác suất rút được 3 viên bi đỏ là .png)
Theo qui tắc nhân, ta có 7.6.3 = 126 cách chọn 3 viên bi có 3 màu khác nhau. Vậy xác suất rút được 3 viên bi có 3 màu khác nhau là .png)
10. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số điểm mà một vận động viên bắn cung nhận được khi bắn một lần. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau :
.png)
a) Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn một lần.
b) Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần.
Giải
a) Ta có E(x) = 9.0,2 + 7.0,36 + 5.0,23 + 3.0,14 + 1.0,07 = 5,96
b) Điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần là 48.5,96 = 286,08.
11. Ta đã biết .png)
tức là .png)
Chứng minh rằng :
.png)
Giải
.png)
Giả sử (1) đúng với n = k tức là :
.png)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với $\forall n\geq 2$
12. Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi :
$u_{1}$ = 3 và $u_{n}$ = 4$u_{n-1}$ - 1 với mọi n $\geq$ 2. Chứng minh rằng :
a) .png)
với mọi số nguyên n $\geq$ 1 (1)
b) ($u_{n}$) là một dãy số tăng.
Giải
a) Với n = 1 ta có .png)
(1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có: .png)
Với n = k + 1 ta có :
.png)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với $\forall n\geq 1$
b) Ta có :
.png)
13. Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi :
$u_{1}$ = 5 và $u_{n}$ = $u_{n-1}$ - 2 với mọi n $\geq$ 2.
a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số ($u_{n}$);
b) Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số ($u_{n}$).
Giải
a) Ta có $u_{n+1}$ - $u_{n}$ = -2 $\forall n\geq 1$
Suy ra ($u_{n}$) là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ = 5 và công sai d = - 2 do đó :
$u_{n}$ = $u_{1}$ + (n - 1)d = 5 + (n - 1)(-2) = -2n + 7
.png)
14. Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi :
$u_{1}$ = 2 và $u_{n}$ = 3$u_{n-1}$ tới mọi n $\geq$ 2.
a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số ($u_{n}$);
b) Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số ($u_{n}$)
Giải
.png)
($u_{n}$) là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ = 2 và công bội q = 3 ta được :
a) $u_{n}$ = 2.$3^{n-1}$;
b) $S_{10}$ = $3^{10}$ - 1.
15. Các số x - y, x + y và 3x - 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, và đồng thời các số x - 2, y + 2 và 2x + 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Giải
Theo đề bài ta có hệ :
.png)
Giải hệ ta được:
.png)
16. Tính giới hạn của các dãy số sau:
.png)
Giải
.png)
.png)
17. Tính các giới hạn sau :
.png)
Giải
.png)
18. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là .png)
và tổng của cấp số nhân này là 15.
Giải
Gọi $u_{1}$, q là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ($\mid$q$\mid$ < 1). Theo đề bài ta có :
.png)
19. Tính giới hạn của các hàm số sau :
.png)
.png)
Giải
.png)
.png)
20. Chứng minh rằng phương trình $x^{3}$ + a$x^{2}$ + bx + c = 0 luôn có ít nhất một nghiệm.
Giải
Do .png)
nên có số $\alpha$ < 0 sao cho f($\alpha$) < 0. Do .png)
nên có số $\beta$ > 0 sao cho f($\beta$) > 0. Hàm số f(x) = $x^{3}$ + a$x^{2}$ + bx + c liên tục trên R chứa đoạn [$\alpha$; $\beta$] nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số d $\in$ [$\alpha$; $\beta$] sao cho f(d) = 0. Đó chính là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
21. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
.png)
Giải
.png)
22. Cho hàm số y = m$x^{3}$ + $x^{2}$ + x – 5. Tìm m để :
a) y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất;
b) y' có hai nghiệm trái dấu;
c) y' > 0 với mọi x.
Giải
a) Ta có y' = 3m$x^{2}$ + 2x + 1
Ta có y' = 3m$x^{2}$ + 2x + 1 là bình phương của một nhị thức bậc nhất khi và chỉ khi
.png)
b) y' có hai nghiệm trái dấu ⇔ 3m .1 < 0 ⇔ m < 0
c) Với m = 0 y' = 2x + 1 > 0 ⇔ .png)
(không thỏa yêu cầu)
Với m $\neq$ 0 y' > 0 $\forall$x $\in$ R .png)
23. Giải các phương trình sau :
a) y' = 0, với y = $\large \frac{1}{2}$sin2x + sinx – 3 ;
b) y' = 0, với y = sin3x - 2cos3x – 3x + 4
Giải
.png)
24. Cho hyperbol (H) xác định bởi phương trình .png)
a) Tìm phương trình tiếp tuyến (T) của (H) tại tiếp điểm A có hoành độ a (với a $\neq$ 0).
b) Giả sử (T) cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục Oy tại điểm J. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T).
c) Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A.
Giải
Với mọi x $\neq$ 0, ta có: .png)
a) Phương trình tiếp tuyến (T) tại điểm .png)
là
.png)
b) Ta nhận thấy I(2a ; 0); J(0; $\large \frac{2}{a}$)
Kiểm tra dễ dàng rằng điểm A(a; $\large \frac{1}{a}$) là trung điểm của đoạn IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T). Đó là đường thẳng IJ.
c) Diện tích tam giác OIJ là :
.png)
Vì S không phụ thuộc vào a nên diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A $\in$ (H).
.png)
25. Một điểm M chuyển động trên parabol y = -$x^{2}$ + 17x - 66 theo hướng tăng của x. Một người quan sát đứng ở vị trí P(2; 0). Hãy xác định các giá trị của hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M.
Giải
Người quan sát thấy được điểm M nếu M thuộc phần parabol nằm trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến của parabol đi qua P(2; 0). Điều đó tương đương với bất đẳng thức kép $a_{1}$ $\leq$ m $\leq$ $a_{2}$; trong đó m là hoành độ của điểm M, $a_{1}$ và $a_{2}$ là hoành độ hai tiếp điểm. Ta cần xác định $a_{1}$ và $a_{2}$.
Phương trình đường thẳng (d) đi qua P(2; 0) với hệ số góc bằng k là
y = k(x - 2)
Để (d) là tiếp tuyến của parabol y = -$x^{2}$ + 17x - 66 thì ta phải có :
.png)
Khử k, ta được :
.png)
($x_{1}$ và $x_{2}$ chính là hai hoành độ tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ P(2; 0) đến parabol đã cho).
Vậy người quan sát có thể nhìn được các điểm M thuộc parabol đã cho, nếu hoành độ điểm M thuộc đoạn [-4; 8].