§4. CẤP SỐ NHÂN
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
a) Chứng minh ($u_{n}$) là cấp số nhân.
Ta chứng minh .png)
không phụ thuộc vào n.
b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân $u_{n}=u_{1}q^{n-1}$
29. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.
a) Dãy số 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64 ;
b) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = n.$6^{n+1}$;
c) Dãy số ($v_{n}$ với $v_{n}$ = $(-1)^{n}.3^{2n}$;
d) Dãy số ($x_{n}$) với $x_{n}$ = $(-4)^{2n+1}$
Giải
a) Dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội q = - 2.
.png)
Suy ra ($u_{n}$) không phải là cấp số nhân.
.png)
Suy ra ($v_{n}$) là một cấp số nhân với công bội q
.png)
Suy ra ($x_{n}$) là một cấp số nhân với công bội q = 16.
30. Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu "x" vào phần kết luận mà em cho là đúng:
a) Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội 0 < q < 1, là một dãy số
$\square$ Tăng
$\square$ Giảm
$\square$ Không tăng cũng không giảm
b) Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội q > 1 là một dãy số
$\square$ Tăng
$\square$ Giảm
$\square$ Không tăng cũng không giảm
Trả lời
a) Giảm
b) Tăng
31. Cho cấp số nhân ($u_{n}$) có công bội q < 0. Biết $u_{2}$ = 4 và $u_{4}$ = 9, hãy tìm $u_{1}$.
Giải
Ta có .png)
Lấy (2) chia (1) ta được .png)
Từ (1) suy ra .png)
32. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba là số hạng cuối bằng $\large \frac{1}{16}$. Hãy tìm cấp số nhân đó.
Giải
Với mỗi n $\in$ {1, 2, 3, 4, 5}, kí hiệu $u_{n}$ là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho. Vì $u_{1}$ > 0, $u_{2}$ > 0 nên cấp số nhân ($u_{n}$) có công bội q > 0, và do đó $u_{n}$ > 0 $\forall n\in$ {1, 2, 3, 4, 5}. Từ đó :
.png)
33. Cho cấp số nhân ($u_{n}$) với công bội q $\neq$ 0 và $u_{1}$ $\neq$ 0. Cho các số nguyên dương m và k, với m $\geq$ k. Chứng minh rằng $u_{m}=u_{k}.q^{m-k}$
Áp dụng :
a) Tìm công bội q của cấp số nhân ($u_{n}$) có $u_{4}$ = 2 và $u_{7}$ = - 686.
b) Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân ($u_{n}$) mà $u_{2}$ = 5 và $u_{22}$ = - 2000?
Giải
.png)
Lấy (1) chia (2) ta được :
.png)
Áp dụng :
a) Ta có : .png)
b) Không tồn tại, vì nếu ngược lại thì cấp số nhân ($u_{n}$) sẽ có công bội q mà
.png)
34. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân ($u_{n}$), biết rằng $u_{3}$ = - 5 và $u_{6}$ = 135.
Giải
Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo kết quả của bài tập 33, ta có :
.png)
Số hạng tổng quát :
.png)
35. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Giải
Kí hiệu $u_{n}$ (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã. Ta có 7314 ngày gồm 53 (= 7314 : 138) chu kì bán rã. Như thế, theo đề bài, ta cần tính $u_{53}$
Từ giả thiết của bài toán suy ra dãy số ($u_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$ = 20 : 2 = 10 và công bội q = $\large \frac{1}{2}$. Do đó :
.png)
36. Tính các tổng sau :
a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366;
b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng .png)
số hạng thứ hai bằng .png)
và số hạng cuối bằng .png)
Giải
a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.
.png)
Giả sử cấp số nhân có n số hạng ta có :
.png)
b)
.png)
37. Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
Giải
Kí hiệu A, B, C, D là số đo bốn góc (tính theo đơn vị độ) của tứ giác lồi đã cho. Không mất tổng quát, giả sử A $\leq$ B $\leq$ C $\leq$ D. Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta có D = 8A, và A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số nhân đó, ta có :
8A = D = A.$q^{3}$ ⇔ q = 2.
Do đó 360 = A + B + C + D = A. .png)
= 15A ⇔ A = 24 (độ)
Suy ra B = A . 2 = 48 (độ), C = A.$2^{2}$ = 96 (độ) và D = A.$2^{3}$ = 192 (độ)
38. Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khảng định dưới đây:
a) Nếu các số thực a, b, c mà abc $\neq$ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số .png)
theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
b) Nếu các số thực a, b, c mà abc $\neq$ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số .png)
theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.
c)
.png)
Giải
a) Sai vì 1, 2, 3 là cấp số cộng nhưng .png)
không là cấp số cộng.
b) Đúng vì nếu a, b, c là cấp số nhân công bội q $\neq$ 0 thì .png)
là cấp số nhân công bội .png)
c) Sai vì .png)
39. Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời, các số x - 1, y + 2, x - 3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Giải
Vì các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên:
2(5x + 2y) = (x + 6y) + (8x + y) ⇔ x = 3y (1)
Vì các số x - 1, y + 2, x - 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên:
$(y+2)^{2}$ = (x - 1)(x - 3y) (2)
Thế (1) vào (2), ta được $(y+2)^{2}$ = 0 ⇔ y = - 2.
Từ đó x = - 6
40. Cho cấp số cộng ($u_{n}$) với công sai khác 0. Biết rằng các số $u_{1}u_{2}$, $u_{2}u_{3}$ và $u_{3}u_{1}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q $\neq$ 0. Hãy tìm q.
Giải
Vì cấp số cộng ($u_{n}$) có công sai khác 0 nên các số $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ đôi một khác nhau
⇒ $u_{1}$.$u_{2}$ $\neq$ 0 và q $\neq$ 1.
Ta có $u_{2}u_{3}$ = $u_{1}u_{2}$.q và $u_{3}u_{1}$ = $u_{1}u_{2}$.$q^{2}$
Từ đó suy ra $u_{3}$ = $u_{1}$q = $u_{2}$$q^{2}$ (vì $u_{1}u_{2}$ $\neq$ 0). Do đó $u_{1}$ = $u_{2}$q (vì q $\neq$ 0 theo giả thiết)
Vì $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ là một cấp số cộng nên $u_{1}$ + $u_{3}$ = 2$u_{2}$, suy ra :
.png)
41. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.
Giải
Kí hiệu ($u_{n}$) là cấp số cộng đã cho và gọi q là công bội của cấp số nhân $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$. Theo đề bài, ta cần tính q.
Vì cấp số cộng ($u_{n}$) có công sai khác 0 nên các số $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ đôi một khác nhau, suy ra q $\notin$ {0, 1} và $u_{2}$ $\neq$ 0.
Từ các giả thiết của đề bài ta có $u_{1}$ = $u_{2}$q, $u_{3}$ = $u_{2}$$q^{2}$ và $u_{1}$ + $u_{3}$ = 2$u_{2}$, suy ra
.png)
42. Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng .png)
và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.
Giải
Kí hiệu $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân nói trong đề bài; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.
Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận $u_{1}$, $u_{2}$ và $u_{3}$ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.
Ta có $u_{1}$ $\neq$ 0, vì nếu ngược lại thì $u_{2}$ = $u_{3}$ = 0, và do đó .png)
Từ các giả thiết của đề bài ta có : .png)
Suy ra .png)
Xét hai trường hợp sau :
* Trường hợp 1: q $\neq$ 1. Khi đó (1) và (2) suy ra d $\neq$ 0 (do $u_{1}$ $\neq$ 0) và .png)
.png)
Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai .png)
* Trường hợp 2 : q = 1. Khi đó $u_{1}$ = $u_{2}$ = $u_{3}$. Vì thế .png)
Suy ra .png)
Hiển nhiên ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0. Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :
.png)
43. Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi :
$u_{1}$ = 1 và $u_{n+1}$ = 5$u_{n}$ + 8 với mọi n $\geq$ 1.
a) Chứng minh rằng dãy số ($v_{n}$) với $v_{n}$ = $u_{n}$ + 2 là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
b) Dựa vào kết quả phần a). Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số ($u_{n}$).
Giải
a) Từ hệ thức xác định dãy số ($u_{n}$), suy ra với mọi n $\geq$ 1, ta có :
.png)
Do đó ($v_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu $v_{1}$ = $u_{1}$ + 2 = 3 và công bội q = 5.
Số hạng tổng quát : $v_{n}$ = 3.$5^{n-1}$
.png)
C. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Cho ba số .png)
lập thành cấp số cộng, chứng minh a, b, c lập thành cấp số nhân.
2. Cho cấp số nhân ($a_{n}$) có $a_{n}$ = 5, $a_{5}$ = 135, $a_{6}$ = - 405. Tính $a_{1}$ và q.
3. Cho cấp số nhân ($a_{n}$), chứng minh :
.png)
4. Cho 3 số a, b, c lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng :
(a + b + c)(a - b + c) = $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$
Áp dụng : Tìm ba số liên tiếp của cấp số nhân biết tổng là 14 và tổng bình phương là 84.
Hướng dẫn: Vì .png)
5. Cho cấp số nhân ($a_{n}$) biết .png)
Tìm n biết $S_{n}$ = 3069.
Hướng dẫn : Tìm được $a_{1}$ = 3, q = 2
Áp dụng công thức : .png)