§1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.

• Tính $\Delta y$ = f($x_{0}$ + $\Delta x$) – f($x_{0}$)

• Tìm

2. Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$

a) Để chứng minh f không có đạo hàm tại $x_{0}$ ta chứng minh

b) Điều kiện để f có đạo hàm tại $x_{0}$

• Để f có đạo hàm tại $x_{0}$, trước hết f phải liên tục tại $x_{0}$.

• Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần tìm.

3. Phương trình tiếp tuyến :

a) Cho trước tiếp điểm có hoành độ $x_{0}$

• Tính f($x_{0}$) (thay $x_{0}$ vào y)

• Tính f'($x_{0}$) (thay $x_{0}$ vào y')

• Phương trình tiếp tuyến y – f($x_{0}$) = f'($x_{0}$)(x - $x_{0}$)

b) Cho trước hệ số góc k.

• Tính hoành độ tiếp điểm x từ phương trình f'(x) = k

• Tính f($x_{0}$)

• Phương trình tiếp tuyến : y – f($x_{0}$) = k(x - $x_{0}$)

Chú ý:

- Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc a = tan$\alpha$ ($\alpha$ là góc của đường thẳng với Ox)

- Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc.

- Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng - 1.

1. Tìm số gia của hàm số y = $x^{2}$ - 1 tại điểm $x_{0}$ = 1 ứng với số gia $\Delta x$, biết :

a) $\Delta x$ = 1;

b) $\Delta x$ = -0,1.

Giải

Đặt f(x) = $x^{2}$ - 1

2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm $x_{0}$

a) y = 2x + 1, $x_{0}$ = 2;

b) y = $x^{2}$ + 3x ; $x_{0}$ = 1.

Giải

a) f(x) = 2x + 1, cho $x_{0}$ = 2 một số gia $\Delta x$

b) f(x) = $x^{2}$ + 3x; cho $x_{0}$ = 1 một số gia $\Delta x$

Vậy f'(1) = 5

3. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm $x_{0}$ (a là hằng số)

a) y = ax + 3;

Giải

a) f(x) = ax + 3, cho $x_{0}$ một số gia $\Delta x$, ta có :

4. Cho parabol y = $x^{2}$ và hai điểm A(2; 4) và B(2 + $\Delta x$; 4 + $\Delta y$) trên parabol đó.

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết $\Delta x$ lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,01.

b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Giải

a) Ta có A(2; 4); B(2 + $\Delta x$, $(2+\Delta x)^{2}$)

Hệ số góc của cát tuyến AB là :

• Nếu $\Delta x$ = 1 thì k = 5

• Nếu $\Delta x$ = 0,1 thì k = 4,1

• Nếu $\Delta x$ = 0,01 thì k = 4,01

b) Hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại A là :

5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = $x^{3}$, biết :

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng - 1;

b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8;

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Giải

Với $x_{0}$ = -1 ta có f'(-1) = 3$(-1)^{2}$ = 3

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng - 1 là :

y - (-1) = 3(x + 1) ⇔ y = 3x + 2

b) Với $y_{0}$ = 8 = $x_{0}^{3}$ ⇒ $x_{0}$ = 2

f'(2)= 3.$2^{2}$ = 12

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y - 8 = 12(x - 2) ⇔ y = 12x - 16

c) Gọi $x_{0}$ là hoành độ tiếp điểm ta có :

f'($x_{0}$) = 3 ⇔ 3$x_{0}^{2}$ = 3 ⇔

• Với $x_{0}$ = 1 ta có $y_{0}$ = 1 và phương trình tiếp tuyến là :

y - 1 = 3(x - 1) hay y = 3x - 2

• Với $x_{0}$ = -1 ta có $y_{0}$ = -1 và phương trình tiếp tuyến là :

y + 1 = 3(x + 1) hay y = 3x + 2

6. Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là trong đó g = 9,8m/$s^{2}$ và t được tính bằng (s).

a) Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + $\Delta t$ với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và $\Delta t$ lần lượt bằng 0,1; 0,01; 0,001.

b) Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.

Giải

a) Vận tốc trung bình của chuyển động là :

b) Vận tốc tại thời điểm t = 5:

7. Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = $x^{5}$ trên R rồi suy ra f'(-1), f'(-2) và f'(2).

Giải

Với $x_{0}$ $\in$ R

f'(-1) = 5; f(-2) = 5.$2^{4}$ = 80, f'(2) = 80.

8. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R

a) y = a$x^{2}$ (a là hằng số) ; b) y = $x^{3}$ + 2.

Giải

a) Với $x_{0}$ $\in$ R ta có :

b) Với $x_{0}$ $\in$ R ta có :

9. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :

Giải

a) Với ; ta có :

b) Với $x_{0}$ < 3, ta có :

10. a) Tính f'(3) và f'(-4) nếu f(x) = $x^{3}$;

b) Tính f'(1) và f'(9) nếu f(x) = $\sqrt{x}$.

Giải

a) Với $x_{0}$ $\in$ R ta có :

Suy ra f'(3) = 27, f'(-4) = 48

b) Với $x_{0}$ > 0 ta có :

11. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ và đồ thị (G). Mệnh đề sau đây đúng hay sai ?

a) Nếu f'($x_{0}$) = 0 thì tiếp tuyến của (G) tại điểm M($x_{0}$; f($x_{0}$)) song song với trục hoành.

b) Nếu tiếp tuyến của (G) tại điểm M($x_{0}$; f($x_{0}$)) song song với trục hoành thì f'($x_{0}$) = 0.

Giải

a) Mệnh đề sai vì tiếp tuyến có thể trùng với trục hoành.

Ví dụ : Cho hàm số f(x) = $x^{2}$ với $x_{0}$ = 0 thì f'(0) = 0 và tiếp tuyến tại điểm O(0; 0) trùng với trục hoành.

Mệnh đề sau đây mới đúng: "Nếu f'($x_{0}$) = 0 thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ của đồ thị hàm số y = f(x) song song hoặc trùng với trục hoành".

b) Mệnh đề đúng : vì nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ song song với trục hoành thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng 0, suy ra f'($x_{0}$) = 0.

12. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b). Biết rằng tại các điểm $M_{1}$, $M_{2}$ và $M_{3}$, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận xét về dấu của f'($x_{1}$), f'($x_{2}$) và f'($x_{3}$).

Giải

Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại các điểm $M_{1}$, $M_{2}$ và $M_{3}$ nên hàm số y = f(x) có đạo hàm tại các điểm $x_{1}$, $x_{2}$ và $x_{3}$. Ta nhận thấy :

+ Tiếp tuyến tại điểm $M_{1}$ là một đường thẳng "đi xuống" từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số âm, suy ra f'($x_{1}$) < 0

+ Tiếp tuyến tại điểm $M_{2}$ là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0, suy ra f'($x_{2}$) = 0

+ Tiếp tuyến tại điểm $M_{3}$ là một đường thẳng "đi lên" từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số dương, suy ra f'($x_{3}$) > 0.

13. Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm ($x_{0}$, f($x_{0}$)); điều kiện cần và đủ là :

Giải

Đường thẳng (d): y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị (G) của hàm số f tại điểm ($x_{0}$; f($x_{0}$)) khi và chỉ khi đồng thời xảy ra :

• (d) và (G) cùng đi qua điểm ($x_{0}$; f($x_{0}$)), tức là a$x_{0}$ + b = f($x_{0}$)

• Hệ số góc của (d) bằng đạo hàm của f tại $x_{0}$, tức là a = f'($x_{0}$).

Từ đó suy ra đpcm.

14. Cho hàm số y = |x|

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0;

b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

c) Mệnh đề "Hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ thì có đạo hàm tại $x_{0}$" đúng hay sai ?

Giải

a) Ta có

Vậy f liên tục tại x = 0

b)

Do đó không tồn tại nên hàm số f không có đạo hàm tại x = 0

c) Mệnh đề sai. Thật vậy, hàm số f(x) = |x| liên tục tại điểm 0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).

15. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ và $x_{4}$:

a) Hàm số có liên tục hay không ?

b) Hàm số có đạo hàm hay không ? Hãy tính đạo hàm nếu có.

Giải

Căn cứ vào hình ta nhận thấy :

+ Hàm số đã cho gián đoạn tại các điểm $x_{1}$ và $x_{3}$; vì đồ thị hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm $M_{1}$ và $M_{3}$.

+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm $x_{2}$ và $x_{4}$; vì đồ thị hàm số là đường "liền nét" khi đi qua các điểm $M_{2}$ và $M_{4}$.

+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm $x_{2}$; vì điểm $M_{2}$ đồ thị là đường "gấp khúc" (và hiển nhiên tại đó không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số), giống như đồ thị hàm số y = |x|.

+ Hàm số có đạo hàm tại điểm $M_{4}$ và f'($x_{4}$) = 0; vì tại điểm $M_{4}$ đồ thị của hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.

C. BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số :

a) y = cosx ;

Đáp số : a) - sinx; b) f'(0) = 1

2. Cho f(x) = $x^{2}$ + 3$\mid$x - 1$\mid$. Tính f'(2), f'(-2).

Hàm số có đạo hàm tại x = 1 không ?

Đáp số : f'(2) = 7, f'(-2) = - 7, f không có đạo hàm tại x = 1.

3. Cho hàm số

Tìm b, c để hàm số f có đạo hàm tại x = 1

Hướng dẫn :

• Từ điều kiện f liên tục tại x = 1 ⇒ b + c = 0

• Đạo hàm hai phía bằng nhau suy ra 2 + b = - 1. Vậy b = - 3, c = 3

4. Cho y = $x^{2}$ - 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến

a) Tại điểm có hoành độ $x_{0}$ = 1

b) Song song với đường thẳng 4x - 2y + 5 = 0

c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0

d) Hợp với trục Ox một góc 45°.

Đáp số : a) y = 2; b) y = 2x - 1; c) y = 4x – 6